VI. x, = 0,8 et x

x h = 0,89074» Th = 0,0002041 , x e = 0,8707656

et

VII. Le calcul de cette dernière racine, comprise entre 0,9 et 1, présente quelques difficultés, parce que y varie moins dans cet intervalle que dans ceux des autres racines. Dans cette circonstance, le principe de la méthode conduit à. faire des substitutions également espacées. On obtiendra donc les résultats suivants :

on doit poser

x x = 0,96 et x 2 = 0,98.

Ces deux dernières valeurs donnent

x, = 0,9743 , x* = — o,oo63o7t3 , #

et enfin ,

25, Les. calculs précédents ont été faits par M. Koralek ; on

peut les vérifier au moyen des relations connues entre les racines

d'une équation et les coefficients de cette équation , c'est-à-dire

que la somme des racines est égale et de signe contraire au coeffi-

cient z ■ du second terme de l'équation ; que la somme de

16632 leurs produits deux à deux est égale au coefficient -57-0— du

troisième , et ainsi de suite ; enfin , que le produit de ces racines

est numériquement égal au dernier ternie — oTô~» ma ' s de signe

contraire, parce que le degré de l'équation est impair.

Toutes ces vérifications se font avec une grande exactitude.

Du reste, quand on s'aperçoit que x = o,5 est racine exacte

de F équation , on peut diviser le premier membre par ix — 1 , ce

qui donne pour quotient exact

équation qui a maintenant pour racines les quantités déjà connues

En comparant ces valeurs, on remarque les relations suivantes :

X, 4- Xi = X 2 -f- X, = X 3 4- X 6 = i .

Si Ton n'avait qu'une seule de ces relations, on pourrait s'en servir pour abaisser le degré de l'équation proposée.

En effet, l'égalité x -f- x' = i-, établie entre deux racines, permet de substituer x 9 = 1 — x dans l'équation donnée /(x) = o. La substitution se fera sans peine au moyen de la formule

c'est-à-dire en remplaçant dans les dérivées successives de y f(x) 9 la variable x par h = 1 ; seulement il faudra remplacer x par — x : on obtiendra donc, pour équation transformée, une nouvelle équation en .r, qui aura une racine commune avec la proposée, à cause de la relation x -+- x' = i , et les deux fonctions de x auront un plus grand commun diviseur qui permettra d'abaisser le degré de l'équation donnée.

Mais, dans l'exemple que nous considérons, le nombre même et la similitude des trois relations indiquées empêcheront d'obtenir cette simplification ; car, les racines de l'équation proposée étant

^^^9 Xj, X3, X 6 , X 6 , X},

les racines correspondantes de la transformée seront

X7, X$, X s , X 3 , Xj, X| ,

de sorte que la somme de deux racines correspondantes soit égale à l'unité, comme cela doit être ; seulement, cette relation existant pour tous les couples de racines, on voit que l'équation transformée sera identique avec l'équation proposée du sixième degré : ce calcul n'avancerait donc à rien pour obtenir les racines.

Cependant on peut utiliser les relations indiquées, en posant, dans l'équation du septième degré,

XT= t-h-y

ce qui donnera

puisque

En effet, on trouve

Divisant par *, et posant tj = z, il reste

Cette simplification pouvait être prévue, car f=x ; et,

soit X, une des racines de l'équation proposée , d'où l'on tire

on sait que

X,+X, = i et # X ? = 1 — X, :

par conséquent,

Ainsi les racines de la transformée , après qu'on a divisé par t » sont égales et de signe contraire , ce qui réduit l'équation au troisième degré.

En commençant une recherche de cette nature, on n'aperçoit pas d'abord les relations qui peuvent exister entre les racines ; mais s'il s'en présente qui n'aient pas été prévues d'avance, on en * profite pour abaisser le degré de l'équation , vérifier les résultats déjà obtenus et continuer le calcul avec plus d'assurance et de facilité.

FORMULES APPROXIMATIVES. fa

■ — **— ~* ' i 1 1 ■ ■ i ■ » ■ , i .ii.i»

26. En suivant toujours les principes établis au commencement de cet ouvrage, nous allons passer en revue plusieurs des formules les plus importantes, et observer les modifications qu'elles subissent quand on suppose qu'une ou plusieurs des quantités qu'elles contiennent sont assez petites pour qu'on puisse négliger leurs puissances supérieures.

Parmi tous les développements en série , le plus connu est le binôme de Newton, qui permet d'écrire immédiatement une puissance quelconque d'un binôme.

On a la formule

ma m ~ x m (m — i) (a -h x) m = a m H JT-+- — '-a*-* . x*

Quant aux exposants, celui de a diminue d'une unité à chaque

terme en même temps que celui de x augmente d'une unité.

Quant aux coefficients , celui d'un terme quelconque se forme

en multipliant le terme précèdent par l'exposant de a dans ce

terme et divisant par le nombre des termes qui précèdent,

Posant - = z, on trouve

fl + i=fl(i+z) et (rt 4- x) m =za m (1 -+- z) m ' y

on a d'ailleurs

tnz m (m — 1) „ m [m— ri) (m — 3) (, -j-*/»=n h -i J -z* -+- — * J -\ ; z* -*-....

Maintenant, si x est très-petit, il reste

(/? 4- on y = a m -\-*na'"- x x\

5o - CHAPITRE TROISIÈME.

c'est-à-dire que, si Ton augmente la quantité a d'une quantité très-petite x , l'accroissement de a m aura pour coefficient.de x la dérivée ma m ~ x de a m .

27. Comme la formule du binôme est vraie, non-seulement pour m entier et positif, mais aussi pour les exposants fractionnaires et négatifs, on peut en conclure les développements de

J = (i + e )-' et de \/i -r e = (i + s) 2 » te,s c I u ' i,s ont ^ le

trouvés dans le chapitre I er .

En effet , cette formule donne

développement déjà connu et qu'il est facile de vérifier par celte autre méthode.

On trouve ensuite

ce qui ramène à un développement déjà connu par les coefficients indéterminés ; mais ici on voit plus facilement la loi des termes. Enfin, on retrouve les résultats approximatifs,

(!-#-!)-■= i — « et (i-hg) a = i— -■•

S8. Nous indiquerons le logarithme d'un nombre quelconque x, par /x, La? ou logar, suivant que la base du système est le nombre e dans le système de Néper, le nombre io dans celui de Briggs ou des logarithmes ordinaires, ou bien un nombre quelconque a dans un système arbitraire.

D'après cela, nous aurons

et , par suite ,

Ce> séries sont convergentes quand x est compris enfcre -h i et — i .

FORMULES APPROXIMATIVES. 5l

Changeons x en — x ; il vient

log(i

-^)=-log^x4---h T + T +5+...j

Ajoutant les deux valeurs précédentes

log(n-x) et — log(i— *), on obtient

u *T=l, = alo * e '\* + '5 + J + ï + ' i -)'

Si x est très-petit , il reste

log ( i -h x) = x log e.

Enfin, pour donner quelques formules relatives au calcul différentiel et au calcul intégral , nous observerons que

d.logx ^ loge d.lx^ l

dx >t, dx x

Réciproquemen t ,

I — = Ix -h C.

On a aussi

et

Ç dx

J sj^— \ ""

Ç . dx ==/(*+ V* a -*"0 + c -

De même

/ dx)/x* — I =C-i--V x2 — l " -'(* + V / ** — *)