Pour les fonctions exponentielles

Si a t= e,

et pour x = 1 ,

iii 1

On trouve que cette base des logarithmes hyperboliques, que Ton appelle quelquefois aussi népériens, est un nombre incommensurable égal à.2,71 8281 828. . . .

Soit M le module par lequel il faut multiplier les logarithmes hyperboliques pour obtenir les logarithmes vulgaires; on a vu dans le numéro précédent que M = 1*e. Or, si Ton multiplie / 10 par ce module, on doit avoir l'unité , puisque L 10 = 1, ce qui donnera

/io.L*=i et M=: — •

On trouve

/ 10 = 2, 3o2 585092g et M = he = 0,434*9448 1 9.

Les séries a* ou e* sont toujours convergentes , quel que soit x 9 parce que les facteurs qui s'accumulent au dénominateur finissent toujours par l'emporter sur le facteur constant dont s'accroît le numérateur.

On a en générai

d.a* logfl

dx log e Mais si Ton prend e pour base , il reste

dx et si , de plus, a = e, on a enfin

= la . a* 9

= e* et même — - — = e*:

dx dx n

donc aussi

I a*dx = i Ç- + C et / e* dx = ***+- C.

FO EMULES APPROXIMATIVES. 53

50. Les formules relatives à la trigonométrie 6ont encore remarquables. Nous avons les deux développements

Ces séries, trouvées par Newton, sont toujours convergentes, et l'on sait d'ailleurs que le terme auquel on s'arrête est la limite de l'erreur, puisque les termes sont alternativement positifs et négatifs : il faut observer aussi que l'arc x est exprimé ici , non pas en degrés, mais en longueur de la circonférence dont le rayon est l'unité.

Ces formules font voir que si l s arc est très-petit, il peut se remplacer par son sinus, mais que ce sinus est toujours plus petit que l'arc; elles moatrent aussi que te cosinus d'un arc très -petit se remplace par l'unité, mais qu'il est un peu plus petit que l'unité.

Ainsi les formules générales

sin ( a -f- x ) = sin a cos x -+- sin x -cos a et

cos (a -h x) = costf cosx — sin a siau;

peuvent se remplacer, quand x est très-petit, par les formules approximatives

sin(« -f- x) = sin a -h x cosa et

cos (a -+-#) = cosa — xsina.

51. Cri développe l'arc dont la tangente est .r, par la formule suivante , due à Leibnitz,

arc tang x = x — -~- -f- -=- h-..

Seulement celte formule n'est convergente que pour x compris

56 CHAPITRE TBOISliWE.

et enfin

Y ^ZZ ■» y

cos a cos p

quantité cafculable par logarithmes ; on a d'ailleurs trouvé aussi par logarithmes les angles a et {L

Cette formule est absolument générale, car une quantité quelconque peut être représentée par une tangente , puisque les tangentes s'étendent depuis — oo jusqu'à + oo . S'il s'agissait de la différence a — b de deux quantités , on trouverait

sin(a — 'fi) y r^: - ' --.