COS % COS
Cependant on peut arriver au même résultat d'une manière encore plus simple. Comme il ne s'agit que de la valeur absolue des quantités, nous pouvons supposer que a et b sont positifs dans la somme
/ b Y=£a + o=za[i-} —
\ a Posons alors
- == taug 7 <p,
on calculera <p par logarithmes, et Ton aura
j = «(i-h tang 2 <p) = — --> v ° T ' cos' y
ce qui se calcule aussi facilement par logarithmes. En supposant , comme on peut toujours le faire , a > b , on pourrait poser encore
d'où ou bien
— = cos ^,
jr = fl(H-cos^),
Y = la cos 2 - û>
Mais la transformation qui donne
a cos* ?
est préférable, parce que l'angle auxiliaire? est calculé par une tangente, tandis que \fc se calcule par un cosinus; or on doit regarder généralement le calcul des angles comme obtenu avec plus de précision par les tangentes que par les sinus et cosinus , parce que les différences des logarithmes des tangentes sont toujours plus grandes dans le même endroit de la Table que celles des logarithmes de ces autres lignes (*) .
L'usage du sinus sera plus avantageux que celui du cosinus pour les arcs très-petits, et celui du cosinus pour les arcs très-près de 90 degrés.
Il serait facile de rendre calculable par logarithmes une somme de trois quantités et d'un nombre plus considérable, en les ajoutant une à une.
Soit maintenant la différence y = a — b de deux quantités : puisqu'il s'agit de la valeur absolue de cette différence, nous avons a > b , ce qui donne
/ = fl(i--J=fl(i- sin'y); car on peut poser
- = sin a *, puisque - <T i . a a
On aura donc
y = a cos 2 ?.
Nous allons prendre des exemples très-simples pour éclaircir cette méthode. Cherchons, dans un cercle dont le rayon est égal à l'unité , la somme du côté du carré inscrit et du côté du triangle équilatéral inscrit; il faut donc poser
. (*) Cela suppose néanmoins ces différences assez petites pour que l'on -puisse appliquer la proportion des Tables.
et aussi
ou p'utôt
tang' ? = ï— ,
Va
/tangyX* ^/3
R étant le rayon «tes Tables, égal à io l % on aura donc
Ltaogf — 10 = ~(L3 — L2) = 0,0440228,
ce qui donne
en négligeant les fractions de seconde.
Ensuite
r = — -- 9 ott plutôt r = — - —
cos 2 <p r ^ cos 2 <p
et
L/ = 2o + -Lî~ 2 Lcos? = 0,4977938; donc
On trouve , en effet ,
Calculons encore
et posons
V 2 sin 2 <j>
Vf à 1 "'
ce qui donne
2 L sm = 20 -i — L2 L3.
Ainsi
L sin.f = 9,9559772 et 7 = 64° 38' 8".
Par conséquent
V5-V5 = VÎ.Sg! 5
donc L(v^3 — ^2) = - L .3 -h 2Lcosy — 20 = 19,5022078 — 20..
Si nous écrivions 20 au lieu de 19 pour caractéristique, la différence serait positive et égale à 0,5022078; mais, comme nous avons ajouté l'unité, il faut la retrancher, ce qui donne
ou , comme on l'écrit d'ordinaire ,
L{fë — fîi) = i ,5022078.
On a donc
y3 — ^2 = 0,317839 au lieu de 0,31784.
35* Parmi les formules de trigonométrie reclilignes, celles qui sont relatives aux triangles rectangles -n'ont pas besoin de pareilles modifications et sont naturellement calculables par logarithmes. C'est, du moins 9 ce qui a lieu pour les formules
6 = asinBj £ = ctangB, b = ^a* — c 2 = ^{a -j- c) [a — c);
quant à la formule
a = \Jb 2 + c 2 = ci/ 1 + —,
on devrait poser, comme on l'a vu ,
- = tang' y ,
mais il est facile de reconnaître que cet angle <p n'est autre chose que 8.
Pour les triangles quelconques, la relation
sin A sin B sin C
est aussi calculable par logarithmes.
Il en est de même pour la formule
tang - (A — B)=r cot-C. . ,
2 v ' 2 a-hb
ÔO CHAPITRE TROISIÈME.
qui résout un triangle où Ton donne l'angle C et les deux côtés a et b qui le comprennent. Si Ton cherchait à trouver directement le côté c y il faudrait employer un angle auxiliaire y , qui serait préci-
sèment égal à - (A -h B).
jà
Quand on considère une série de triangles, il arrive quelquefois que les logarithmes de ces côtés a et b sont connus d'avance; pour éviter de chercher dans la Table la grandeur de a et de b , voici l'artifice que Ton emploie. Soit a le plus grand des deux côtés, nous poserons
-=tang ?
et
a i — tang ©
= r = — = tanc (45° — 9 ) ;
b i-f-tanc» 6V4 ^ h
a -h b b •! + tang <p
or, puisque
-<'> *<45°, on aura donc
tang-(A — B) = cot-C.tang(45° — y).
Pour trouver les angles d'un triangle dont on connaît les trois cô tés, on a la formule
b 2 -hc 2 — a 7
cos A =
