SA = SE.SD
ou bien
ce qui donne
SA =2R(R-f-x),
La quantité qu'il faut rendre maximum est donc
(R-H*)»(R-*), et la condition sera
d'où l'on tire et
Comme la nature de la question indique presque toujours s'il faut trouver un maximum ou un minimum, il est généralement inutile de chercher la seconde dérivée de la fonction : on devrait cependant le faire si Ton soupçonnait que la même valeur qui a donné f (x) = o donne aussi f (x) = o. Nous avons vu ce qu'il y avait alors à faire, mais quand la méthode est en défaut, c'est d'or-
dinaire parce que f'(x) se présente sous la forme — ou — •
Il faut alors chercher à lever l'indétermination ; nous en verrons des exemples dans la théorie des courbes.
59. Lorsque la fonction dont on cherche le maximum ou le minimum se trouve engagée sous un radical du second degré,
quand on résout l'équation par rapport à la variable, on peut employer une autre méthode souvent plus expéditive.
Cherchons la plus grande et la plus petite valeur de l'ordonnée dans l'hyperbole dont l'équation est
x* -f- xy — 2/* — iy — 2 x -+- 3 = o.
En résolvant par rapport à x , on trouve
et si Ton résout l'équation
l^-r-r— 2 = 0, cette expression prend la forme
La méthode est fondée sur ce que x doit toujours être réel , et , par conséquent , la quantité soumise au radical toujours positive ; il faut donc que les deux facteurs dont ce radical se compose soient de même signe : c'est ce qui aura lieu si l'on donne à y des
valeurs positives plus grandes que i(v^6 \\ nuus, pour des
valeurs positives plus petites, le premier facteur sera négatif et le
second .positif. Ainsi y=- (v76 — ^ 2 ) ^ I e minimum des valeurs
"9 positives de y.
Si l'on donne à y des valeurs négatives numériquement plus petites que - (V76 -+• 2), le premier facteur sera négatif, et le se-
cond sera encore positif, donc x sera imaginaire. Mais x redeviendra réel pour des valeurs de y négatives et numériquement
plus grandes que -(^76 -h 2), puisque les deux facteurs seront
74 CHAFITAX TfcOISlJUIE.
alors négatifs. Ainsi y = (V?6 *+" 2 ) sera un minimum nu-
mérique des valeurs négatives de y, ou, si Ton veut, un maximum de ces valeurs.
On voit donc que l'hyperbole n'aura aucun point compris entre les deux parallèles menées à l'axe des x aux distances
On voit que cette méthode a l'avantage de déterminer s'il s'agit d'un maximum ou d'un minimum. Ainsi, quand la variable se
présente sous la forme x = ^y 7 — * % il est clair que y 7 = a 7 sera un minimum ; si , au contraire , on a
on voit que y 7 = a 7 sera un maximum.
L'exemple précédent aurait pu être considéré comme une application de la recherche des maxima et minima dans les fonctions implicites. Différentions l'équation
x 7 -+- xy — 2.y 7 — 27* — 2x + 3i:o
par rapport à x et à y ; nous trouverons
* dy nx -4- y — 2 dx I\y -i- 2 — x
ce qui donne pour condition
d'Où
Transportant cette valeur dans l'équation de la courbe, et réduisant, il reste
fj r " + J r -" 2 = 0,
ce qui donne les limites déjà connues.
Il arrive souvent que la fonction n'ait pas de maximum ni de
minimum. On en est averti, quelle que soit la méthode employée, par l'absence de racines réelles; alors l'équation/' (j?) = o n'a que des racines imaginaires. C'est ce qui arriverait si Ton cherchait le maximum ou le minimum de x dans l'hyperbole dont nous avons considéré l'équation : il n'y a ni maximum ni minimum de x, parce que toutes les valeurs de x donnent des valeurs réelles pour y.
40. Dans la recherche des maxima et minima, ainsi que dans beaucoup d'autres circonstances, il est souvent utile, comme nous l'avons vu , de savoir déterminer les valeurs véritables dçs
expressions qui se présentent sous les formes indéterminées -
oo ou •
Quelquefois, il est vrai, cette indétermination est réelle, mais cela ne se voit guère que dans la discussion des théories générales, et non dans les questions particulières, du moins quand on les traite directement, car l'indétermination, lorsqu'elle existe, se manifeste alors par une identité. C'est ce que l'on remarque dans la discussion des équations du premier degré à deux ou à plusieurs inconnues : lorsque deux ou un plus grand nombre d'équations se réduisent à une seule, on reconnaît l'indétermination dans les formules générales parce que les inconnues se présentent
sous la forme -; mais quand on traite directement un problème
particulier qui est indéterminé, sans que l'on s'en soit aperçu d'abord, on en est averti dans le courant du calcul parce que l'on rencontre une identité.
Nous regarderons donc, en général, ces indéterminations comme
apparentes, et nous commencerons par montrer que la forme —
oo
revient à -• En effet, * ? qui devient — pour/(x ) =. o et o i oo
De plus, comme on connaît déjà des valeurs approchées pour tontes les quantités que l'on veut déterminer, nous prendrons pour inconnues les corrections de ces quantités , ce qui nous permettra de n'avoir que des équations do premier degré , puisque, les puissances des corrections seront négligeables.
D'après cela, soient x , y et z ces inconnues que nous supposerons seulement au nombre de trois; nous aurons les équations
a& x -f- bWy -h c» z -f- d& == o,
le nombre n -h i de ces équations étant plus grand que 3.
Si toutes ces équations étaient prises à la rigueur, il set ait difficile qu'elles ne fussent pas incompatibles; mais, comme les coefficients ne sont pas exacts, on a seulement en réalité
ax-^by + cz-hdzzze, a'x-i-b'y-i-c'z + d'z=:e', a" x 4- b"y + c«z + d" = e"',
I^es quantités e, e 9 , *",. . ., et"> sont des erreurs que nous savons exister, mais que nous ne connaissons pas.
Gela posé , Laplace a démontré par le calcul des probabilités que les inconnues x 9 y et z sont déterminées avec le moins de chances possible d'erreur, quand on fait en sorte que la somme des carrés de ces quantités e , e'> e", . . . , e(") soit minimum.
Cette somme sera
<?*-+. <?'*-f- . . .4- e W = (ax +by + cz+ d)*
^-(û / Jr+^>^-c , 2+rf / ) , +...+(fl^J:+^J+^+^" ) )^
Afin d'avoir le minimum de cette somme, il faut, comme on l'a vu à la fin du n°57, différentier par rapport à jt, ù jet à 2,
. ÏFOBMtitES APPROXIMATIVES. 8l
et égaler à eéro les coefficients différentiels -, c'est-à-dire les dérivées du second nombre par rapport à chacune de ces inconnues. On aura donc les trois équations
2 a (ax -+- by'-\- cz -f- d) -+- 2 a' [a' x -h b' y -+- c' z + d f ) -+- . . . = o, 2 b (ax + by -h cz -f-rf) + 2è'(fl'jt+^ + c / z + rf')4-...=o, 2c(ax-h by + cz -H d) -f ne' (a' x-{-b'y-h c'z + d') -f-, . . = o,
qui déterminent les valeurs les plus avantageuses de x, de y et
de z. Considérons, pour plus de simplicité , une seule inconnue x
et trois équations
ax -+• b = o,
L'équation des moindres carrés sera
a(ax + b) + a' [a x + b') -f- a" («"* -K 6") =u,
d'où Ton tire
ab\+ a* b' + a" b*
43. On résout quelquefois le même problème par d'autres méthodes moins exactes , mais souvent plus simples pour le calcul.
Telle est la méthode des équations de condition, qui consiste à combiner de différentes manières les équations données > de sorte qu'on ait seulement autant d'équations que d'inconnues.
Supposons, par exemple, qu'on ait neuf équations à trois inconnues; en indiquant ces équations parles n°* (i), (2), (3),..., (9% on peut les disposer de la manière suivante :
(i) + (a) + (3) = o, (7) + (8)+(9) = o; ou bien de cette autre façon :
On peut alors, pour chaque inconnue, prendre la moyenne entre les résultats obtenus de cette manière.
Dans l'exemple d'une seule inconnue et de trois équations, il n'y a qu'à les ajouter ensemble, ce qui donne
(tf -h a' -\-a")x + i-f- b' -h b" z= o et
On vient de voir que la méthode des moyennes se rattache à la précédente, puisqu'elle consiste à combiner de diverses manières les équations données , en sorte qu'on ait par chaque arrangement un nombre d'équations seulement égal à celui des inconnues. Ensuite on ajoute les diverses valeurs obtenues pour Tune d'elles, x par exemple , et Ton divise cette somme par le nombre de ces arrangements.
Cependant cette méthode est distincte de la précédente dans certains cas très-simples, te! que celui d'une seule inconnue et de trois équations
ax -f- b = o,
qui donnent, en prenant la moyenne entre les trois valeurs de x ,
Ut 3\«
Prenons comme application les* équations suivantes :
IOX =11, 20 X = 24,
et comparons les résultats fournis par les trois méthodes. Celle des moindres carrés donnera
i-M 10 -+- i8o. ♦Soi
x = j— = ^- = i 9 in,
FORMULES APPROXIMATIVES. Ifô
Par celle des équations de condition , on trouve
Et enfin , la méthode des moyennes donne
i/ II 2A I IO-hlI-f-12 33 II
Cette dernière évaluation est la moins exacte, parce que c'est elle qnî s'écarte le plus de celle qui a été déterminée par les moindres carrés.
