Renversement des séries

Pour achever ce qui a rapport aux développements des fonctions , soit que Ton considère une suite indéfinie de termes , soit que l'on n'en conserve qu'un certain nombre en négligeant les puissances supérieures de la variable, nous devons étudier encore le renversement des séries, c'est-à-dire la manière de développer inversement la variable indépendante en fonction de la variable dépendante.

Ainsi, soit donné le développement

y = ax -+■ bx 1 H- cx s -f- dx* -h . . . ,

dans lequel a, b y c y . . ., sont des coefficients connus, il s'agit de trouver la série réciproque x = A y -t- B y 7 -h Cy* -j- Dy* -+• . . . , où il faut déterminer les coefficients A, B, C, . . . .

En élevant le premier développement à différentes puissances et les transportant dans le second , nous aurons une égalité qui sera vraie pour toutes les valeurs de x> et par conséquent dans laquelle les coefficients de toutes les puissances de x seront nuls séparément. Nous aurons

y* = a 2 x* -f- T.abx 2 -+- b 2 x* -+- abc

-hzac +nad

y 3 = aKrf -f- 3a 7 bx* -f- Zab 7 x h -+- . . . ,

y* = a* x* -f- 4 fl3 oxh \ y* = a h x b -I-. . . .