CHAP1TBK TB0IS1&ME

inverse de la série dû n° 51 , et qui s'obtient assez facilement par les coefficients indéterminés , tandis que la méthode précédente serait impraticable.

En différentiant de part et d'autre, il vient

— - = A, 4-3A 3 .r* 4- SA & x* 4- n A 7 x* 4-. . . »

cos * X '

ou bien

cos' X -~~ — — ^-^— — — — — —— — ^—^— — — — ^^^—^^—— •

et différentiant encore,

__ 2.3A 3 x -h 4 5A 5 .r 3 -f-6.7A;X & 4-. . . 2 cos xsinx- ( A| + 3 k,x> + 5A & *< + 7 A,*< +. . .)' ' ce qui revient à

cos x sm x =r - = - .

On voit que les premiers coefficients des termes du numérateur sont ï, 2, 3, . . . , et les seconds sont les nombres impairs 3, 5, 7, ... . Divisant cette expression par cos 3 4?, on a

1 . 3A 3 x4-2.5A i .r 3 4- 3.7 A 7 .r 5 4- 4*9 A 9 .r 7 -f-. . . tang *""" A, -h 3 A 3 x- 4- 5 A & x* 4- 7 A,*' 4- . . .

Nous obtenons donc l'égalité

i.3A s x4-2.5A 5 x 3 4-3.7A 7 .r & 4- 4-9A,x* 4-. . . = (A,4-3A 3 x a 4-5A s x 4 4-7A 7 xM-. . .)(A,*H-A,Jc , -r-A»ar*+. . .}

qui servira à trouver les coefficients de tang x en identifiant ceux dex.

On sait d'abord que A, = 1 , puisque Tare infiniment petit est égal à sa tangente : nous aurons donc la suite d'égalités, dont la loi de formation est facile à saisir :