Fermer un contour polygonal

Comme exemple de Futilité des constructions graphiques pour réunir les données numériques de l'expérience , nous allons traiter une question qui nous ramènera à l'étude des approximations successives.

Il faut lever le plan d'un polygone quelconque, c'est-à-dire

Fig. 19.

dont les angles sont rentrants ou saillants. Pour plus de simplicité , nous considérerons un quadrilatère; il sera facile d'étendre ce que nous allons dire 'aux polygones les plus compliqués.

Nous avons donc sur le terrain le quadrilatère ABCD ; pour en lever le plan, nous partons d'un sommet A, en nous dirigeant vers B, et nous mesurons la distance AB; nous observons l'angle ABC , et nous cherchons aussi la distance BC : enfin , après avoir obtenu les angles BCD et CDA , ainsi que les distances CD et DA, nous revenons au point A.

Mais les mesures d'angles et de longueurs que nous avons prises sont affectées de certaines erreurs ; par conséquent , si nous transportons sur le papier les données de l'expérience, en faisant le tour du polygone t le point d'arrivée A' ne coïncidera pas sur le plan avec le point de départ A , comme il fait sur le terrain* 11 faut donc corriger ces erreurs en altérant les côtés de manière à fermer le contour (Jfg. 19).

Projetons les points B, C, D en B', C, D' sur la direction À A', nous aurons évidemment

AB' — B'C — CD' -h D'A' + A' A = o,

et nous devons fermer le contour en altérant chaque projection par l'addition ou la soustraction d'une certaine quantité. Posons donc

AB '( ,+m ^ : )- B ' c '( ,+ "^)~ c ' D '

On voit que le contour sera fermé si les coefficients m,n,petq sont déterminés d'une manière convenable. Pour y parvenir, ajoutons A A' aux deux termes de cette seconde équation , effectuons les multiplications qu'elle indique et simplifions d'après la première équation; enfin supprimons A A' qui restera comme facteur commun : nous trouverons

Cette équation de condition est la seule à laquelle soient assujetties les quantités w, /?, p et q; elles peuvent d'ailleurs être positives ou négatives. On a donc une grande facilité pour répartir les erreurs sur ceux des côtés que l'on suppose soit Irop grands, soit trop petits dans les mesures que l'on a prises.

Il faut voir maintenant comment on détermine la quantité A A' ainsi que les angles que fait sa direction avec les côtés du polygone. Nous avons le triangle CBA dans lequel nous connaissons l'angle B et les côtes CB, AB ; nous pouvons donc calculer le côté CA ainsi que

les angles BCÀ , C AB. De même, le triangle CDA' donnera le coté CA' et les angles DCA', CA'D ; retranchant de l'angle BCD la somme des angles BCA et DCA', on trouve l'angle ACA', ce qui permet de déterminer le triangle ACA', où l'on calcule le côté AA' et l'angle CAA' : retranchant de 180 degrés la. somme des angles CAA' + CAB , on trouve BAB', ce qui donne la direction de AA' par rapport à AB; on trouvera de même l'angle DA'D', ce qui achève de faire connaître les angles que font avec AA 7 les côtés du polygone.

Il est facile de voir que la correction d'un côté AB sera égale à m AA' divisé par le cosinus de l'angle que fait AB avec AA', puisque la correction de sa projection AB' est m AA'.

Ayant ainsi corrigé les longueurs des côtés , on s'en servira

pour déterminer par le calcul les trois angles dont on doute le

plus, en admettant que le polygone soit ramené à être convexe,

ce qui est toujours possible, comme on le verra bientôt (*)..

Soit, par exemple, le pentagone ABCDR dans lequel on connaît

les côtés et les deux angles A , E ; il s'agit de trouver les trois autres B , C et D {fig. 20 ).

Joignez EB, AD, vous résoudre* facilement les triangles BAE , DAE et, par suite, BOA, DOE; on a donc le quadrilatère BCDO où l'on connaît les côtés et l'angle 0}, ce qui suffit pour le déterminer. Quel que soit le polygone convexe , on le ramènera au cas précédent, puisque tout sera connu, excepté la partie où se trouvent les trois angles consécutifs.

Cette méthode peut être utile dans les circonstances où l'on est

(" ) Un polygone convexe de n côtés est déterminé par 2 * — 3 éléments : ici Ton donne les n côtés et n — 3 angles , il en reste donc trois à connaître. Ici nous les avons sa p posés consécutifs^ mais on les. trouverait encore plus facilement si ces angles inconnus étaient , par exemple , les deux consécutifs C et D. et l'angle opposé A. 11 suffirait de joindre AG , AD ; les triangles ABC, AED ont un angle donné compris entre deux côtés aussi connus, 00 trouvera donc les côtés AC, AD , et comme DC est donné, on obtiendra les angles du triangle ACD, ce qui achèvera de déterminer le polygone.

obligé de prendre les directions avec la boussole , sans pouvoir , des deux extrémités d'une base , viser le même point éloigné ; c'est ce qui arrive dans les forêts et surtout dans les mines. Cependant, avant de l'employer, il faut faire une première vérification relative à la valeur des angles.

Quand le polygone est convexe , on sait que la somme des angles intérieurs est égale à autant de fois deux angles droits qu'il y a de côtés, inoins deux. La même vérification s'appliquera aussi à un polygone qui présente des angles rentrants. •

En effet, soit CDE [fig, ai ) un angle rentrant, on pourra le

faire disparaître en joignant CE. De cette manière on ramènera la question à considérer un polygone convexe dont la somme des angles intérieurs s'obtiendra en déterminant BCE + CEF au moyen des angles observés BCD, CDE et DEF, ce qui est facile, car

180 — CDE = DCE + CED,

et il est clair que

BCE -f- CEF =s BCD -f- DEF -+- 180 - CDE.

Mais, en admettant que cette vérification de la somme des an- . gles se fasse avec une exactitude suffisante , ce n'est pas une raison pour que le plan soit fermé sur le papier , et pour ne pas appliquer la méthode précédente , qui d'ailleurs ne doit être employée que si l'on réclame une grande précision, car elle peut entraîner dans des calculs assez compliqués. On conçoit , en effet, que si les côtés sont mesurés d'une manière inexacte, le polygone ne sera pas fermé , quoiqu'il n'y ait pas d'erreur sur les angles ; il suffit pour cela que le dernier côté soit pris trop grand ou trop pelit, même quand tous les autres seraient bien mesurés.

Quant à l'évaluation des angles , la boussole donne une vérification partielle à l'extrémité de chaque côté AB, puisque les angles NAB , NBA que fait un même pôle N de l'aiguille aimantée , à

chaque bout de la droite que Ton considère , ont une somme évidemment égale à 180 degrés, à cause du parallélisme de l'aiguille dans ces deux positions.

Cette vérification peut quelquefois ne pas se faire aux extrémités de ' tons les côtés , malgré le soin et l'adresse de l'expérimentateur; cela tient à la présence de masses ferrugineuses qui font un peu dévier la boussole : c'est alors aux angles qui avoisinent ces côtés que Ton doit appliquer la correction à laquelle se rapporte la^, 20.

Quand ces déviations sont légères , on se contente de les corriger par la considération de la somme des angles de polygone, au moyen des directions mieux déterminées ; mais , si Ton suppose encore que la nature du terrain rende la mesure des cotés difficile et incertaine, la méthode que nous venons d'exposer, et qui se rattache à la règle de fausse position , permet d'obtenir un plan d'une exactitude suffisante , malgré toutes ces circonstances dé favorables.