C -+- p = 0-Ha, C = 0-f-(a — p

Ainsi, pour avoir l'angle cherché ACB, il faut ajouter à l'angle mesuré AOB la quantité a — p que nous appellerons x.

Il s'agit maintenant de déterminer les angles a et p Désignons par a , b , c les longueurs des côtés du triangle ABC et par r la distance très-petite OC. Dans les triangles AOC et BOC , on a

sin a sin AOC sin p sin BOC

On sait que le sinus d'un arc très-petit ne diffère de Parc que d'une quantité très-petite relativement à Tare lui-même; on peut donc remplacer approximativement sin a et sin p par les arcs qui mesurent les angles a et p dans le cercle dont le rayon est l'unité. Si donc a et p représentaient ces arcs eux-mêmes en longueur, nous

aurions

r sin AOC r sin BOC

Mais, en général, les angles sont donnés, non par des longueurs d'arcs, mais en degrés, minutes et secondes, et quand il s'agit d'arcs très-petits, on prend pour unité la seconde. On a vu que

l'arc u"une seconde a une longueur égale à rryrz > le rayon

étant égal à l'unité. Comme d'ailleurs un arc aussi petit se confond sensiblement avec son sinus, on peut poser

sin î

Or il, est clair que si un angle est évalué en secondes, on ohtien-

l38 CHAPITRE QUATRIÈME.

dra la valeur de Tare correspondant en multipliant ce nombre de secondes par la longueur de l'arc de i", c'est-à-dire par sin 1" ; et que, réciproquement, si l'on divise un arc par sin i", on obtiendra l'angle correspondant

Nous aurons donc, pour les angles a et p évalués en secondes,

r sin AOC __ r sin BOC

b sm i r a sin i '

Ainsi la correction x est donnée par la formule

r sin AOC r sin BOC

b sin i " a sin 1 "

Les angles AOC , BOC se mesurent avec le cercle , et il suffit d en mesurer un, parce que leur différence est égale à l'angle mesuré AOB. Cela suppose que Ton puisse établir d'une manière suffisamment précise la direction OC : malgré quelques difficultés pratiques, on y parvient sans erreur considérable, à cause de la proximité des points O et C. Nous en dirons autant pour la détermination de la distance r = OC.

Enfin , la valeur de x contient aussi les côtés a et b du triangle ABC. Mais nous ferons remarquer qu'il suffit, pour effectuer la correction , de connaître des valeurs approchées de ces côtés , l'erreur qui en résulte dans la valeur de x est très- petite par rapport à cette quantité elle-même, et par conséquent négligeable. Or le triangle ABC, que nous considérons, fait partie d'un réseau ; le calcul des triangles antérieurs a donné la longueur de l'un au moins des côtés de ce triangle ; d'autre part, deux angles au moins du triangle ont été mesurés en plaçant le cercle à une petite distance des sommets ; si l'on adopte provisoirement ces angles non corriges et si l'on résout le triangle, on en déduira des valeurs approchées des autres côtés, qui suffiront pour effectuer la correction des angles mesurés. On recommencera ensuite la résolution exacte du triangle avec les angles corrigés.

Supposons, par exemple , que le calcul des triangles antérieurs ait donné la longueur a du côté BC , on aura

, a sin B

b — — — — , sm A

APPLICATIONS MATHEMATIQUES. 1 3g

et, transportant dans la formule précédente,

r sin A sin AOC r sin BOC

a sin B sin 1 " a sin i "

ou bien

r /sin A sin AOC . „^\ a sin i \ sm B /

On calculera donc cette valeur de -r en se servant des valeurs approchées des angles du triangle.

La correction relative à l'angle B , c'est-à-dire la réduction au centre de station si le cercle n'a pas été placé exactement au sommet B , se fera de la même manière.