on bien

it sin \ x* x*

(*) Ici X représente la latitude d'un lieu de la terre. A l'équateur, X = o , et l'on voit qu'alors x est aussi nul. Aux environs du pôle, X = 90 — tf , et Von peut alors poser aussi * = 90 — e , les quantités tf et e étant très-petites, car on a

ÎT COS tf = TT — 2 € +- SÎn 2 S ,

équation qui devient une identité pour tf et « très-petits.

l4o CHAPITRE QUATRIÈME.

Nous allons maintenant, par la méthode inverse des séries , déve-

lopperx en fonction de z = — - — : pour cela remarquons que,

si x change de signe , il en est de même pour z ; donc , réciproquement, le développement de x ne doit contenir que les puissances impaires de z. On posera donc

x = Az-f-Bz 3 H-Cz 5 ,

en s'arrêta nt encore pour z à la cinquième puissances. On voit

d'ailleurs que z = — - — est toujours plus petit que l'unité.

Remplaçons x par cette valeur dans l'expression de z en fonction de x, nous aurons

z = Àz-r-B

Négligeant les termes qui dépassent z s , égalant les termes en z, et supprimant les autres, on obtient la suite d'égalités :

et C = -4-

On a donc

62. Résolution de V équation du troisième degré par la trigonométrie.

Soit

l'équation proposée.

On fera d'abord disparaître le second terme en posant

ce qui donne

^ 2 A 3 ÀB

équation que nous représenterons par

x 3 -h px -f- q = o ,

qu'il s'agit maintenant de résoudre.

D'un autre côté, soit

z = sm^>

on démontre en trigonométrie la relation

3 sin a

Comme les angles 2 w -h a , 4 * -H a ont le même sinus que a , les trois racines de cette équation sont

. . a . 2tt -h a . 4^ 4- a

sin - > sm r — et sm - — - — - y

mais

2tt + a = 3w — (w — a),

et la seconde racine devient

sin — 5 — = sin ( 6o° — - j

De même, comme

4ît -ha 7T -ha

la troisième racine devient

. ït -h a . l a a

— sin — 5 — .= — sin ( 6o° -h x > •

Quoi qu'il en soit, ces trois racines étant réelles, on ne pourra résoudre de cette manière que les équations du troisième degré dont toutes les racines sont réelles.