I. Posons

'4 2 CHàPITEE QUATfilÈHE.

m étant une indéterminée, il reste

sma

ou bien

'3 m 1 x m 3 sin a ** 7 1 ? — =ro

relation qu'il faut identifier avec l'équation proposée

x* -{- px -\-q = o,

quand celle-ci n'a pas de racines imaginaires. Nous devons, pour cela, déterminer a et m en fonction de/? et de q. On trouve

ce qui montre d'abord que/; doit être négatif; ensuite

/ii 3 sin a

d'où

4v 4 1 tf a

sina = z ^ et sin* a = ?—Z- :

mais

ce qui donne

* = — -^- et m 6 = — -±-£- ,

sin'a = — '-7— • On doit donc avoir, puisque sin* a < 1 ,

ou

bien

condition nécessaire et suffisante pour que l'équation proposée ait ses trois racines réelles.

Cette condition étant remplie, les valeurs

-iq

sm a = —

permettent de trouver l'équation en z, et par suite les trois racines de cette équation , ainsi que celles de la proposée. Nous prendrons pour exemple l'équation

qui est traitée dans plusieurs Algèbres, et nous déterminerons successivement les trois racines

z' = sin - 9

s" = sin 6o° -4-

, z m = — sin ( 6o<

de l'équation en z.

Nous avons toujours

et Sinarr^

ce qui donne

et l'on trouvera

par le calcul suivant :

/> = — 7t <7 = 7> L/ti = o,485oi84,

L sin a

On a donc

d'où Ton conclut