L . sin -ç

L./w = o,485oi84 L ..1/ = o , 1 325464 On retranche 10 du résultat pour a voir L x', et Ton obtient

valeur un peu trop faible.

On trouvera aussi

.r" = 1 ,69202 et x* = — 3,04891,

valeur numériquement un peu trop faible. Du reste, on observe, comme vérification , que

j + j: +ar 3=0,

comme cela doit être, puisque l'équation n'a pas de terme en x 7 . IL Soit

ce qui fait que deux racines sont imaginaires. Il peut encore se présenter deux cas, suivant le signe de p.

Nous allons supposer que p est encore négatif.

Soit

x = m ( tang a -h cot a ) ,

les quantités meta étant des indéterminées; il est facile de voir que cela revient à poser

sin2a

Donc la racine réelle sera calculable par logarithmes, si m et a sont connus.

Mais si nous élevons au cube les deux membres de l'égalité

— = tang a -h cot a ,

il vient , à cause de tang a cos a = i ,

•^-j = tang 3 a -+- cot 3 a -h 3(tanga -+- cot a),

ou bien, en remplaçant tang a + cot a par — et réduisant,

.r 3 — Zm>x — /w 3 {tang 3 a -h cot 3 a) = o,

équation qu'il faut identifier avec la proposée. On trouve alors

p = — 3#w% y =; -— /^(tang 3 » -f- cot 3 a);

ce qui montre que p doit être négatif, puisque

Pour déterminer a, posons

tang 3 a = tang p ;

ce qui est permis , puisqu'une tangente représente une quantité quelconque, positive ou négative. Nous avons en même temps

cot 3 a = cot p , et par conséquent

X = tang p+ cota = - 2

m* c " ' * sinsp'

ce qui détermine

sm 2 p = •

On doit avoir

sin 2 ?.p<[i;

donc

et d'ailleurs

IO

d'où

ce qui donne

ou bien

condition nécessaire pour qu'il n'y ait qu'une racine réelle. III. Soit enfin

P>o, et posons

x = m (cota — tança);

on a

cos 2 a — sin'a cos2a

cot a — tang a = — : — = — 2 cot 2a.

sin a cos ai. *

- sm 2 a

d'où

x = 2 m cot 2 a.

On a aussi

—^ = cot 3 a — 3 cot 2 a tang a -f- 3 cota tang 3 a — tang 3 a

= cot 3 a — tang 3 a — 3 (cot a — tang a ) ,

à cause de

tang a cot a = 1 ,

par conséquent

x 3 -f- 3 m 1 x — - /w 3 (cot 3 a — tang 3 a") = o; équation qu'il faut identifier avec

jc 3 -h -/m: + 9 = 0.

Nous avons donc

m = y j* 7 = — iw 3 (.cotp — tangp),

en posant

tang 3 a == tang (3 ,

et par suite

q = — 2w : cot 2 p ,

quantités calculables par logarithmes.