L.2 = o,3oio3oo L.ot

I 1,8090124 L.sin(2a — 180)= 9,9922498

La racine est donc

63. Résolution des équations du quatrième degré par la trigonométrie.

On sait qu'un polynôme du quatrième degré se décompose tou* jours en facteurs réels du second degré; nous allons voir que la

détermination de ces facteurs dépend d'une équation du troisième degré .

Soit

x* + Qx* 4- R x -+- S = o

l'équation proposée, que nous supposerons, pour plus de simplicité,, privée de son second terme; nous poserons

x* -4- Qx a -+- Rx -f- S = (x 1 -*- ax 4- P) (•** 4- «'* H~ P')> ce qui donne les relations

« + a'=û, p+ p'4- aa'=Q, pa'-hp'a = R, pp'=S.

La première montre que a' = — a; donc les deux suivantes deviennent

p + P' = Q-r-a 2 et p'-p = 5;

d'où l'on tire

en multipliant ces deux valeurs , on trouvera, à cause de la dernière relation ,

et Ton obtient enfin l'équation

a 6 +2Qa'+ «'(Q*— 4^)— R 3 =O r

qui ne sera que du troisième degré si Ton prend a' pour inconnue et qui aura toujours une racine positive, puisque le dernier terme est négatif; donc aussi « aura toujours au moins deux valeurs réelles, numériquement égales et de signe contraire. Comme d'ailleurs on a trouvé p et p' en fonction de a que nous pouvons maintenant supposer déterminé, on connaît les facteurs qui sont

et

x 3 — ax-+--(Q-+-a 2 )H

l5o CHAPITRE QUATRIEME.

Ces formules seraient en défaut'si l'on avait

R = o, auquel cas l'équation en a donnerait aussi

Mais, pour lever cette indétermination, remarquons que nous avons trouvé en général

donc, pour

les expressions des facteurs deviennent

c'est d'ailleurs ce que Ton voit directement, puisque l'équation proposée se réduit à

a* 4- Qx 2 -f- S = o, pour R = o.

Si deux ou trois valeurs de a 9 sont positives, et qu'une d'elles, soit comme nsurable et par suite entière, puisque le coefficient de a 6 est T unité, il faudra la préférer : de plus, si ces deux ou trois valeurs sont entières et positives, et que parmi elles se trouve un carré parfait, il faudra remployer de préférence aux autres, parce que a étant alors entier, les facteurs seront commensurables.

Nous prendrons pour exemple l'équation

x} — 7 x 1 — 1 & x — 8 = o , laquelle donne

a* — i4a* 4- 8l ar— 324 = °î

on trouve donc

a* = 9 et a =z ± 3 , c'est-à-dire

Alors

= 3 cl *' = — 3.

APPLICATIONS MATHÉMATIQUES. l5l

Ct

P'=-(9-7)--6=- 2 , ce qui donne

Soit encore l'équation

qui conduit à l'équation en a ,

a* — 24 a' ■+• 52 a* — 16 = o; on en conclut

et Ton obtient la décomposition suivante :

JT* — I 2 X* H- 4 * "h 23

= (x'-f-x^â — 5 — Vâ)(* a — x^â~ 5 -h V 2 )-