MIROIRS SPHÉRIQUES

72. La réflexion de la lumière sur les surfaces courbes, et en particulier sur les surfaces sphériques , donne encore lieu à beaucoup d'applications des formules approximatives. Nous allons en examiner quelques-unes des plus simples et des plus importantes, en joignant au calcul la construction géométrique des images, qui est indispensable pour avoir une idée nette de leur position.

I. Considérons d'abord un faisceau de rayons parallèles tom- Fig. 3o. bant sur une portion AM de miroir sphé-

rique concave (Jig. 3o). Soit OA celai de ces rayons qui passe par le centre O de la sphère ; menons arbitrairement par OA le plan de la figure , et soit dans ce plan un rayon SM qui rencontre l'arc de grand cercle AM en un point M très-rapproché de A. La normale, c'est-à-dire le rayon OM, faisant avec SM et avec OA l'angle / d'incidence , on sait que l'angle de réflexion OMF, compris aussi dans le plan de la figure, sera encore égal à i .

APPLICATIONS PHYSIQU1S. î8g

Mais cet angle i étant très-petit, puisque M est irès-rapproctié

de A , je dis que le point F où MF rencontre OÀ est sensiblement

le milieu de ce rayon OA de la sphère.

En effet , soit FP perpendiculaire sur OM : nous remarquerons

que le triangle OMF est isocèle, puisqu'il a deux angles égaux >

donc

OP^a,

ia étant le rayon OM; par conséquent,

a = OFcos/ :

mais l'angle i étant très-petit , son cosinus est presque égal à l'unité , et il reste

OF = flr.

Aussi le milieu dû rayon de la Sphère parallèle à la direction commune des rayons lumineux s'appel le /oyer, parce que c'est là que se concentrent , pour les rayons voisins , la chaleur et la lumière émanées du soleil dont chaque point nous envoie des faisceaux parallèles, à cause du grand éloignement où nous en sommes.

II. Cherchons maintenant l'iihage d'un point lumineux quelcon- Fig. 3i. que P [fig. 3i). Joignons PO, qui

rencontre le miroir en A, le rayon OA de la sphère étant toujours égal à 2 a. Soit PM un rayon incident qui rencontre le miroir en M de telle façon que , dans le plan MPA de la figure, l'arc AM soit très- petit.

Ce rayon incident et le rayon réfléchi MP' font avec la normale OM le même angle i , et comme MP' est dans le plan de la figure , cette ligne coupera l'arc POA en un point P' ; il faut prouver que les rayons incidents qui s'écartent peu de l'axe ont des rayons réfléchis qui passent sensiblement en P'.

Nous avons l'angle

0=r/ + P et aussi P'=/-j-0,

donc

Comme tous ces arcs sont très-petits, nous pouvons les remplacer par leurs tangentes : la figure nous donne

n MN ^ MN . MN

ungP== Np' Uu ^ 0=z m' ^^np'

en appelant MN la perpendiculaire abaissée de M en N sur l'axe PA. Mais remarquons que nous pouvons aussi négliger la quantité AN par rapport aux distances NP , NO , NP', qui sont beaucoup plus grandes; nous pourrons donc remplacer, dans les dénominateurs des expressions précédentes, NP par AP=/?, NO par AO = 2a et NP' par AP' = /?'; nous remarquerons même que ce changement diminue la valeur des tangentes en augmentant leurs dénominateurs , et donne, par conséquent , une erreur en sens inverse de celle que Ton commet en prenant les tangentes à la place des arcs, puisque les tangentes sont plus grandes que les arcs.

Nous aurons donc, en supprimant le facteur commun MN, la

relation

— = ou bien — \ — = —

p r la la p p p' a

Nous aurions pu trouver directement, par un raisonnement

analogue, la position du foyer principal F; mais on la retrouve

comme cas particulier de la formule précédente , en supposant

p infini : il reste alors

Les points P et P' s'appellent foyers conjugués, parce que l'un d'eux est l'image de l'autre. En effet, la figure montre que, si V était un point lumineux , réciproquement son image se trouverait en P; la formule indique la même symétrie entre p et p\

On peut observer que ces foyers conjugués divisent fiarmomquement la droite AO, c'est-à-dire que l'on a