CO*2À

Maintenant il faut déterminer le facteur <p , de manière que la quantité

-(•"-M^jH-acosaX

se réduise à % m pour

et à s" pour

Nous devons donc poser

ce qui donne

ou bien

Il est facile de voir que cette valeur remplit, en effet, l'autre condition indiquée.

CHAP1TEB SIXIEME.

Nous aurons donc

'=RJi-s?inU+e'sin 2 2>4-s^

quelle que soit la formule que Ton choisisse on se contente généralement de ces trois corrections.

On déterminerait par des formules analogues les variations de la pesanteur du pôle à l'équateur.

79. Le méridien terrestre n'est pas précisément une ellipse , mais la différence est peu considérable.

Voici un problème accessoire qui peut nous éclairer sur sa forme. Cherchons en quel point M de ce méridien, supposé elliptique , l'angle £ du rayon central et de la normale sera maximum. Soient MT la tangente en M {fig* 44) > et 0N parallèle à cette tangente ; on sait que OM et ON forment un système de diamètres conjugués et le triangle HOP est rectangle. Donc le maximum de £ correspond au minimum ' de MOP, c'est-à-dire au maximum de l'angle obtus MON de deux diamètres conjugués, ce qui a lieu quand ces diamètres sont égaux.

Puisque le problème est résolu par les diamètres égaux, ces diamètres sont également inclinés sur le grand axe; par conséquent, l'angle

? = NOC = ROP, ce qui donne

+ étant l'angle du grand axe et de la normale. Alors

ou bien

S = + — ? = go° — 2 f ,

$ -+- 2 ^ = pyO°.

Mais on sait que, pour les diamètres conjugués égaux ,

rapport du petit axe au grand axe de l'ellipse, et comme le méridien elliptique de la terre donne

a 3oo 3oo

on trouve

T = 44»54' i5" et a=n'3o".

De plus, la figure montre que £ est complément de MOP= 2<p ; or

a lab

tang2 ? = £ = — '

ce qui donne

valeur qui peut servir à vérifier la précédente (*).

80. La question que nous avons résolue relativement à la forme du méridien de la terre nous fait voir de quelle extension est susceptible la méthode des coefficients indéterminés. On ne se borne pas toujours à développer une fonction suivant les puissances successives d'une variable , on introduit souvent des lignes trigonométriques ; quelquefois même les quantités indéterminées sont des exposants. Par exemple , le méridien terrestre ne pouvant se représenter exactement par une ellipse dont l'équation serait

à 1 b 2 ' on altère légèrement Pun des exposants et l'équation

-r "SOQ «/-a

(*) 11 serait facile d'arriver au même résultat par le calcul, mais nous avons préféré cette démonstration géométrique, qui nous a été communiquée par M. 6. Fourcade-Prunet.

322 CHAPITRE SIX1ENB.

peut représenter suffisamment le méridien quand on détermine a et b d'une manière convenable.

Mais surtout on fait un usage fréquent des sinus et cosinus des arcs multiples, ainsi qu'on vient de le voir. Supposons, pour fixer les idées , que l'on demande de représenter par une courbe empirique la marche des températures pendant une journée. Les abscisses représenteront le temps, c'est-à-dire les heures de la journée depuis le moment le plus froid ( entre trots et quatre heures du matin ) jusqu'à la même heure du lendemain, et les ordonnées perpendiculaires seront l'excès de la température sur cette température minimum. D'après cela, il est facile de voir que la courbe se composera d'une suite d'arceaux dont chacun aura pour base , sur l'axe des abscisses, un intervalle représentant vingt-quatre heures.

Nous sommes donc portés à chercher, pour représenter la loi des températures, une courbe formée aussi d'une série d'arceaux consécutifs et tous égaux entre eux : telle est la sinusoïde dont l'équation est

y = sin .x ;

maintenant il faut voir comment on pourra modifier cette équa» tion pour qu'elle s'accorde avec l'expérience (*).

D'abord le maximum de la température ne correspondrait pas exactement, avec des coordonnées perpendiculaires, au milieu de l'intervalle compris entre les extrémités d'un arceau, mais à o. heures du soir à peu près; on aura égard à cette irrégularité en convenant que, dans l'équation

7 = sinx,

les ordonnées ne seront point perpendiculaires aux abscisses,

( * ) La base qui indique 24 heures correspond à Tare * = tt, dans l'équation y = sinx : soit donc t le nombre d'heures; la valeur correspondante de x sera donnée par la proportion

t x d'où l'on tire

mais inclinées convenablement pour satisfaire à la condition énoncée (*). De plus, on donnera au second membre un coefficient indéterminé m , et Ton posera

y •=. m sin x ;

ici m =z . ■ v , en appelant ô l'angle des nouvelles ordon-

sm(0 — a) Ir ^

nées avec les abscisses, et a l'angle de la tangente à l'origine. Si cela ne suffit point pour rendre compte des phénomènes, on ajoutera des termes contenant les sinus des arcs multiples ; affectés d'antres coefficients, en prenant, par exemple, des multiples doubles les uns des autres, c'est-à-dire /w'sin 2 x, m" sin 4 *, . . . . Enfin , l'on peut aussi , comme on Ta fait relativement à la forme de la terre, employer les carrés de ces mêmes sinus : en un mot, on cherchera, dans toutes les questions, à traduire les phénomènes physiques le plus exactement possible par la formule la plus simple possible.

81. Si le problème est purement graphique, c'est-à-dire si Ton donne sur le papier un certain nombre de points qu'il faut réunir par une courbe continue, on y parviendra au moyen d'une série de circonférences convenablement tracées.

Imaginons quatre points d'une courbe O, A, B, C, il faut tracer cette courbe dans l'intervalle compris entre ces quatre points; le problème aura quelque chose d'indéterminé comme toutes les questions d'interpolation, mais il pourra néanmoins se résoudre avec une approximation suffisante, si les points donnés ne sont pas trop écartés les uns des autres (on s'est dispensé de tracer la

( * ) 11 suffira de prendre Taxe des y parallèle à la droite qui joint le milieu de la base avec le sommet de l'arceau , où la tangente est parallèle à la base. Pour cela , on se guidera sur le tracé empirique de la courbe, que Ton connaît d'avance , car nous cherchons seulement une équation qui puisse reproduire cette courbe. On se rappellera cependant que les abscisses qui représentant les heures ou les arcs correspondants se rapportent aux ordon-> nées perpendiculaires qui servent à construire la courbe : cette courbe étant construite donne la valeur des ordonnées obliques qui servent à établir l'équation

j s= m sin x.

figure qui n'est point nécessaire pour l'intelligence de la construction).

Faisons passer par les trois premiers points O , A , B une circonférence dont le centre est en H ; de même , par les points A, B et C , nous ferons passer une autre circonférence de centre H'. Alors nous pourrons déterminer la portion de courbe comprise entre les points A etB, communs à ces deux circonférences; en effet, soit ON une abscisse qui correspond à cet intervalle, soient NM , NM' les ordonnées correspondantes dans les cercles de centre H et H', nous prendrons pour ordonnée de la courbe la moyenne

j = -(NMh-NM').

On déterminera de même les points compris entre O et A en comparant au cercle de centre H une autre circonférence passant par O, A et G. Enfin , on trouvera la portion de courbe comprise entre B et C, en comparant au cercle de centre H' une autre circonférence passant par O, B et C.

82. Mais d'ordinaire la question est posée analytiquement , et Ton donne les points O, A, B, G, etc., par les valeurs numériques de leurs abscisses et de leurs ordonnées.

Alors il s'agit de faire passer par ces points une courbe qui remplace la courbe cherchée , du moins dans cet intervalle.

La nature de cette courbe approximative est essentiellement indéterminée; cependant on doit la choisir avec discernement, mais il faut surtout que son équation présente assez de coefficients indéterminés pour que Ton puisse satisfaire a toutes les conditions exigées. Aussi cette courbe a d'ordinaire une équation parabolique , c'est-à-dire de la forme suivante :

y = a -+- bx -h ex 1 -+- . . . .

Le nombre des coefficients indéterminés a , b , c , . . . est égal au nombre des points donnés, et, par conséquent, des équations de condition. Gela nous ramène à ce que nous avons vu dans les n" 76 et 77, mais nous nous proposons maintenant de donner une méthode simple et facile pour déterminer ces inconnues, quel

qu'en soit le nombre. Nous y parviendrons en résolvant d'une manière générale les équations du premier degré à un nombre quelconque d'inconnues, par la théorie des déterminants (*).

85. I. Une fonction de plusieurs lettres est symétrique quand elle garde sa valeur si Ton change une de ces lettres en une autre, et réciproquement, comme, par exemple, a en b et b en a, sans toucher aux autres lettres.

Si cette fonction présente plusieurs fois la même lettre avec des

accents ou des indices différents , pour indiquer des quantités

distinctes, mais analogues, comme a y a', a", . . ., et 6, b\ b" ,. . .,

il faut comprendre que toutes les lettres a se changent dans les

lettres correspondantes b y et réciproquement, en gardant leurs

accents ou leurs indices.

Par exemple ,

ab' + a'b

est une fonction symétrique , parce que, si l'on (ait le change* ment indiqué, elle devient

ba' + b'a %

et, par conséquent, n'est pas altérée.

II. Si le changement que nous venons d'indiquer laissait à la fonction sa valeur numérique, mais changeait son signe , on dirait que la fonction est alternée.

Par exemple

ab' -a'b

est une fonction alternée, car elle devient, par cette transformation ,

ba' — b'a;

elle garde donc sa valeur numérique , mais elle change de signe.

III. Parmi les fonctions alternées, nous considérerons les déterminants , dont nous allons montrer la formation.

Prenons le produit de n lettres, a, b y c, . . ., dans lequel cha-

(*) On trouvera dans le Programme de MM. Gerono et Rngiietdcs notions plus étendues sur les déterminants; mais pour approfondir cette importante théorie , il faut consulter l'ouvrage spécial de M. Rrioschi.

220 CHAPITRE SlXlÈKE.

cime de ces lettres ait un indice différent, ce qui donnera le produit atfc". . . y où la dernière lettre aura Pindice n — i : dans ce produit, faisons alterner deux lettres seulement, telles que b etc; c'est-à-dire changeons b enc, et réciproquement c en b 9 et en même temps changeons le signe de ce terme, ce qui donne

— ac 1 o '. . . .

Ensuite , faisons dans le terme que nous venons d'obtenir la même opération entre deux autres lettres, en changeant encore son signe, ce qui le fera redevenir positif, de négatif qu'on Pavait rendu précédemment ; en continuant ainsi jusqu'à ce que Pon retombe nécessairement sur un terme déjà obtenu , on trouve le déterminant de n lettres.

Il est facile de voir que cela revient, sauf les changements de signe, à faire une permutation tournante entre ces n lettres. On dit qu'il y a permutation tournante entre plusieurs lettres quand on change la première dans la seconde , la seconde dans la troisième , etc., et enfin la dernière dans la première , en faisant aussi tes changements réciproques.

IV. Pour conduire l'opération avec ordre et être sur de ne négliger aucun terme, voici la méthode que Pon peut suivre. Prenons une lettre quelconque a, et considérons d'abord les termes où elle figure sans accent; on les obtiendra en mettant a comme facteur d'une suite de termes où figureront les n — i autres lettres alternées deux à deux suivant la loi précédente, ce qui donnera précisément, d'après la définition précédente, le déterminant de ces n — i lettres. Seulement, comme le facteur a n'a pas d'accent, il faut qu'il y ait des accents à toutes les lettres de ce déterminant: nous l'indiquerons par la lettre A, qui montre que a n'y entre pas, et qui, n'ayant pas d'accent, fait voir aussi qu'il y en a sur toutes les lettres qui s'y trouvent.

Nous écrirons ensuite un terme ayant a' pour coefficient du déterminant A' des n — i mêmes lettres , seulement ce sera ici l'accent prime qui ne s'y trouvera point. On aura de même le terme «"A",..., et enfin le déterminant de n lettres sera

D = aA + *'A'+ a" A" -+-. . .-+-*<— '> A'— '>.

Mais il est clair qu'on pourrait tout aussi bien poser

D = 6Bh- £'B'-h b*W + ... 9

D = cC-r-c'C'-4-c"C"-h..., • >

en désignant par B, B', B", . . ., et C, C, C", . . ., des quantités analogues à A , A', A", ....

Cependant, il faut faire une observation très-importante sur la formation des quantités A, A', A",. . ., relativement aux signes des ternies qui les composent. On peut écrire la première A en prenant à volonté le signe de son premier terme, d'où l'on sait conclure celui de tous les autres , mais il faut en tirer aussi les signes des termes de A', A", .... Pour avoir, par exemple, ceux de A', prenons un terme quelconque de a A et faisons dans ce terme la permutation alternée entre a et celle des lettres qui porte l'accent prime, en changeant le signe, comme il faut toujours le faire ; nous aurons ainsi un terme de a' A' avec son signe, ce qui donnera celui de tous les autres. On en fera autant pour a!* A", et ainsi de suite.

V. Les déterminants jouissent d'une propriété dont nous verrons bientôt une application très-utile : c'est que, si l'on change une première lettre dans une seconde sans faire la réciproque, c'est-à-dire sans changer aussi cette seconde lettre dans la première, le déterminant deviendra nul. En effet, considérons, par exemple, les deux lettres b et c; on sait qu'en les faisant alterner dans un terme quelconque , tel que a b' c", on obtient

— ad b" :

mais si l'on change b en c sans faire la réciproque , on obtiendra

ac c" — ac* c'\

ce qui se réduira à zéro ; il en sera de même , d'après la formation du déterminant, pour les autres termes considérés deux k deux (*).