VI. Comme exemple de la formation des déterminants, nous

(*) Le déterminant serait encore nul si Ton changeait, par exemple, les accents prime en accents seconde, sans faire la réciproque.

allons chercher celui de trois lettres , et nous prendrons ad' c" pour premier ternie ; il est clair que

ce qui conduit a poser

A' = cb" — bc" et A" = W — cb' :

la règle que nous avons posée revient à observer qu'une même lettre avec un même accent, telle que b ¥ 9 après avoir été placée dans un terme négatif, doit ensuite se trouver dans un terme positif. Le déterminant cherché sera donc

D = a ( b'c" —c'b n )-ha' (cb" —bc") + a" ( bc' — cb' ) mi bien

D r= ab'd' — aff b n H- a cb" — a' bc" -+- a" bc' — a" cb\

valeur alternée en a 9 b et c.

VII. Il nous reste à voir comment cette théorie s'applique à la résolution des équations du premier degré à plusieurs inconnues. Soient

a x -\- b y +cz . +.,. =/j,

a' x -f- b' y + c' z -f- . . „ z=zh' y

n équations du premier degré à/z inconnues.

Formons le déterminant D des n coefficients des inconnues (on voit que h y h 1 \ A". . .h(*- 1 ) n'y entrent point) (*). Ensuite, multiplions la première équation , où les lettres n'ont pas d'accent , par le déterminant A des n — i lettres b } c. . . formé comme nous l'avons vu : de même nous multiplierons la seconde équation par

(* ) Ce déterminant serait le même si les premiers membres des équation»

étaient

«* -h «' y -h y" s -+- . . ., bx-i-b'y -+. b"z -h. ..,

car -h c'y +c"«+ . .,

A', la troisième par A", . . . , et enfin la dernière par A<*"~'> ; nous savons comment se forment toutes ces quantités.

Cela posé, faisons la somme de tous les produits précédents ; le coefficient de x dans l'équation ainsi obtenue sera justement

D = ûA + a' M -H a" A" -H . . . -+• aC-O A(— ■>.

Quant aux coefficients des autres inconnues , ils seront nuls. En effet, le coefficient de y f qui sera , comme on le voit,

fie contiendra point les lettres a 9 a\ a" y . . . , et il est facile de remarquer que ce sera le déterminant D dans lequel on aura changé les lettres a en lettres b> sans faire la réciproque; donc le résultat est nul , d'après ce qu'on a vu. Il en sera de même pour les coefficients «les autres inconnues, ce qui donne

D* = h A -H A' A' + A" A" -H ... -h A<—') A<»- ! ) et

AA-M'A'-hA"A"-f- ... H-AC-Oà**"- 1 )

On aura de même

__ AB + A'B'-H A"B" -j- . . . -f- A(— BC-'J

* — [ D ' et ainsi de suite.

84. I. Revenons maintenant au problème que nous avons déjà traité par une méthode graphique et qui consiste à faire passer une courbe par quatre points donnés , les coordonnées de ces points étant («Sy), (•*"»/" )> (■* â %y r ) et le quatrième point étant l'origine des coordonnées.

Nous pouvons prendre pour joindre «es quatre points la conique qui a pour équation

j , H-Ma? , -f.N,r+ Px = o,

<ce qui donne les équations de condition

y 2 -+- M^ 1 -h N/ 8 -H P*' = o, y" 2 + Mr" 2 -h N/ ,a -+- P*"=:o, /'" -h Mx** -f- Nr Wa +P/=o f

23o CHAPITRE S1X1ÀME.

entre lesquelles nous éliminerons par la méthode des déterminants les quantités M , N et P.

Le déterminant D aura pour valeur

et nous trouverons M , N et P par les relations

yyjiï'-ï') +s'/*"(/-y") +/'/**(/'-/) +md=o,

arary* (*" — x m ) + /x'/ 1 (x — *') + /y/^'-/) + nd = o, yy*"^ — y) +y"y'x"* [y m - /) + /y*** (r' -r") -t- pd = o.