II . Si Ton pose

y = Ma: -H N.r a -f- Px 4 , on trouve

D = ***'V|>'''.r'' (*"'-- x")-*-*"*^*' — x")-hx"x'(x" — x 7 )],

ND +//X' (x'" — x'') +/^*'(^ - x w ') -h.r'x"x"(x*>— x") = o, PD =/"*"*' (x" - *') -^/'x^x' — x") + /X"'*" (x* — x").

88. Jusqu'à présent nous avons cherché par la géométrie ou le calcul le tracé ou l'équation d'une courbe capable de passer par un certain nombre de points déterminés, ou bien, ce qui revient au même, de représenter une certaine série d'observations. Nous allons maintenant reprendre le problème de l'interpolation à un point de vue purement analytique, et en admettant, pour obtenir des formules plus simples, que les valeurs successives de la variable in-» dépendante forment une progression arithmétique : nous parviendrons à des résultats très-importants pour la résolution des équations algébriques et transcendantes.

Supposons donc que la différence entre deux valeurs consécutives de la série des n -+- 1 quantités^ , x, , x 2 , . . . , x„ , soit con*

stante et représentée par

h = Ax, nous aurons

x l = Xt-t-Ax> x 2 =:x, -h Ax = x -f- 2 Ax,

et ainsi de suite ; enfin

x„ = x # -f- n bx.

INTERPOLATIONS. s3l

Il nous faut maintenant étudier les variations correspondantes de la fonction y,

Les« 4-1 valeurs correspondantes de y serontj >7t, yw^Xny mais les différences de deux valeurs consécutives ne seront pas égales pour la fonction comme elles l'étaient pour la variable indépendante , et nous aurons

A/, — Ar, = tfy 9 r t — y x = A/, A 3 j,— A a f.= A 3 j # ...

Ajr,— Ajr, = A 1 jr,

Les différences entre les valeurs consécutives de la variable sont les différences premières, celles qui existent entre ces différences premières sont les différences secondes qui donnent lieu elles-mêmes aux différences troisièmes, et ainsi de suite.

Nous allons chercher d'abord à exprimer la dernière valeur y m de la fonction au moyen de la première y et des différences de divers ordres de cette quantité jv

Nous avons d'abord

y « = y% -r- A/o » ensuite ^=r,+ A/, ; mais

A y x = Ajr -H ts*y 9

comme on le voit en prenant les différences de l'équation précédente : remplaçons donc y , et A/, par leurs valeurs, il reste

y* = /• ■+- 2 byo -+- a\)v

Nous aurons de même

7*= Jt+ ày t ; mais

A.T» = A.?-. H- 2 A 1 j -+- tfy 9 ,

ce qui donnera

y, = y,+ 3 A.r«-T- 3 A s j -+- A 2 j # , et ainsi de suile.

On arriverait donc à la formule générale

L'analogie de cette formule avec le développement du binôme permet de l'écrire sous la forme symbolique

jr.= r# (i-r-A)%

dans laquelle , après le développement, toutes les puissances de A deviendront des indices.

Si la fonction y est un polynôme de degré m, je dis que A"/ sera une constante et que toutes les différences d'ordre supérieur seront nulles. Remarquons d'abord que la seconde partie de cette proposition est une conséquence évidente de la première, car si les différences d'un certain ordre sont constantes , on aura des résultats égaux à zéro , en les retranchant les uns des autres.

Soit donc

ce polynôme ordonné suivant les puissances décroissantes de x 9 et considérons spécialement le terme de plus haut exposant Ax". La différence première de ce terme sera

À(4?-H Ax) w — Ax w, = À| imj^-'AxH ^ -,* , "- 1 (A.r) ,

ou bien

mAx™" 1 Ax + . . • ,

en s'arrétant au terme en àx 9 qui contient la plus haute puissance de x.

La différence de cette première différence ou bien la différence seconde de Ax m sera

wA(jr+ A*)* -1 Ax — mAx*— 1 àx = Am(m —i)x" , - 2 (Ax) , -H . . . ,

en s'arrétant au terme en ( Ax) 2 .

De même, le terme de plus haute puissance en x dans la difte-

rence troisième sera

et ainsi de suite pour les autres différences : on voit que le calcul se fait comme pour prendre les dérivées, et que l'exposant de Ax augmente d'une unité à chaque opération.

On a donc en général , pour n <[ m ,

A b .Aj"= km (m — i)(m — 2). . .(m — n -M)x*~"(Ax)' , -H ...

et enfin , pour « = w,on trouve

A m .Aaf t =:Am (m — 1) (m — 2) . . . 3.2. 1 .(Ax)" = A w j,

quantité constante, comme nous l'avions annoncé, les termes suivants étant nuls.

Il est facile de voir que les termes de puissance inférieure Ax m ~ i . . . cessent de donner des différences avant le terme Kaf* ; c'est pourquoi nous ne nous sommes préoccupés que de celui-ci.

En nous arrêtant donc à cette différence constante b m y 9 quand, au contraire , m < /* , nous avons

.Tu = .To-)-«A.r # -*---> A 2 j -h . . .'

n(n — \)..An — //*-r-i) M 1 .2.3... m

Mais si nous simplifions ce résultat au moyen de la valeur déjà trouvée de A'" j, , nous obtenons enfin

n (n — 1) „ ïn=y. H- n Ay o + v A'/, -h . . .

-h n (n — 1). . . (n — m 4-1) (Ax) m .A\ formule dont nous tirerons bientôt parti.

86. Après avoir exprimé y n en fonction de f et de ses différences consécutives , on peut réciproquement exprimer A"/ en fonction des n -+- 1 valeurs y , /, ,/:,«.., j w .

- Pour cela , remarquons que

à 2 y.=z (/»— r«) — (ri— *) =r>— *it +r#» a\t.= (r»— 2r 2 -Hr.)— .(r»— 2/,-hj,) =j 3 -3r,-h 37,-7,,

et ainsi de suite. On reconnaîtra donc par la méthode connue de généralisation pour les résultats de cette nature , que l'on a

A»7,=rn—^rn-»-H \ o V ^» — ' * — 'r— * -h —±r.»

le dernier terme devant être pris positivement si « est pair et négativement si n est impair.

Ce développement peut encore se représenter par la formule symbolique suivante :

A B rt = (r — 0".

en changeant les exposants en indices, et remplaçant l'unité par/, dans le dernier terme.

Cette formule nous donnera

^.^—(x + nAxy* — n[x + (n — i) Ax}" n(n — 1)

[j;-f(« — 2) Ax] m — . . . ± «*.

Si nous développons et ordonnons le second membre suivant les puissances de à& 9 en posant pour simplifier

il viendra

' â*.x m =zlt ê x m -4-~W l x m - i Ax

+ 5j^Lz2Îif 1 j--»(A*3«-»-.. . + n.(a*)".

I • jL

Mais on a vu dans le numéro. précédent que la moins haute puissance de Ax dans le développement de A", x" est(Ax)' 1 ; donc la

fonction N a est identiquement nulle pour toutes les valeurs de a inférieures à n (*). On a trouvé d'ailleurs, en posant m z= /i ,

A w .^»= 7?(/ï — l)(/l — 2). . .3.2.l(Ax)",

ce qui donne

puisque A", j" se réduit à N„( Ax) n pour /w = /?. 87. Reprenons la formule

-+-»(«— 1) (« — 2). . .(/i — ifi -f-i)(A.r) m A,

que nous avons posée à la fin du n° 88.

Cette formule, qui nous servira à séparer les racines d'une équation , et à les resserrer dans des limites suffisamment approchées, est due à Newton; mais il ne faut pas confondre ce procédé , basé sur les différences , avec la méthode due également à Newton et que nous avons étudiée dans les approximations successives.

Nous substituerons dans l'équation

^ = 0, ou bien A.z m -f- A,**" -1 -H- . .= o,

des valeurs de x équidistantes, d'abord d'une unité, c'est-à-dire que nous commencerons par prendre

àx = 1.

Si les racines ne sont pas séparées par des substitutions de nom* bres entiers consécutifs, pris entre les limites inférieure et supé-* rieure, on fait des substitutions de dixième en dixième ; alors

On peut encore prendre

— —————— »^ — — ■ ■■■■»». ■ 1 ■■■■■■— ■ ■ ■ ■■!■■ »■■■ ■ ■ 1— ^— — — ^— mç

( * ) Par exemple ,

(Voir Nouvelles Annales, tome XI 11 , page 57a. )

et ainsi de suite. Il est bien entends que Ton ne doit pas s'exposer à chercher des racines dans nn intervalle où il ne s'en trouverait pas ; on est guidé à ce sujet par le théorème de Sturm. D'ailleurs , dans la pratique , on connaît presque toujours l'ordre de grandeur de la racine que l'on cherche.

Quoi qu'il en soit, nous devons montrer qu'après avoir fait dans la fonction un nombre limité m de substitutions directes, on peut disposer avec les différences correspondantes un tableau qui donne , par un calcul très -simple , les résultats d'autres substitutions faites au delà et en deçà avec la même différence Ax.

Pour fixer les idées nous supposerons, comme nous Pavons dit, qu'il s'agisse d'une équation algébrique

Àx"-hÀ 1 x~- | :=o,

alors nous verrons que le nombre nécessaire de substitutions directes est le degré m de l'équation.

Nous prendrons pour exemple l'équation

ou bien

70 x* — 140 jt 3 -+- 900:* — 20X -f-I = O,

dont nous avons déjà cherché une racine dans le n° 15. Mous avons alors supposé, non-seulement que la séparation des racines était obtenue, mais aussi que la racine en question était connue à un centième près. Il faut voir maintenant comment on avait pu parvenir à ces résultats.

Changeons x en — x , ce qui donne