II. Racines imaginaires, />' — ^<Z0, hjperhole. — Le

trinôme écrit sous le radical est alors constamment du signe de son premier terme, et par conséquent positif; Tordonnée y reste réelle et continue pour toute valeur de x. Mais, z ne s'annulant pas, la courbe n'a aucun point sur le diamètre D'D.

Si on écrit z sous la forme

on voit que le minimum de s a lieu quand x = — %, demi-somme

des racines.

Ceminimum a pour valeur

Si donc on prend sur IV de part et d'autre du point a> deux longueurs oB, taW égales à 2|, et si on mène par les points B et B' les droites ST, S'T' parallèles à D'D, il n'existe aucun point du lieu entre ces deux parallèles, et la courbe se compose de deux arcs EBC, F/R'C situés de part et d'autre du diamètre D'D (fig. 256). Ces arcs

Fig. 236.

TANGENTES. — NOUMALES. — ASYMPTOTES. ^Î85

pour le point B (o,fc) -h , tangente perpendiculaire à AB,

pour le point M (a^b) — ? tangente perpendiculaire à OM.

Les tangentes en A et B sont donc parallèles aux points et M, elles sont aussi parallèles et perpendiculaires aux précédentes, et les équations de ces quatre tangentes sont

en A a(\—a)~b\=0 [\]

en B a\—b(\ — b) = {) [2]

en aX-+-ftY = [5J

en M rt(X — a)-hft(Y — fr) = [i]

MS. Tanipciite en mm point donné il'nne ellipse, €l*nne hyperbole, d*une parabole. — 1<» Soit une ellipse rapportée à ses axes, son équation est

L'équation de la tangente en un point H (x, y) de cette courbe est donc

ou, en prenant les demi-dérivées,

X£ Yy£^ î^

Mais le point M (x, y) étant «ur la courbe, on a

a*^b' donc Téquation de la tangente en M se réduit à

hyperbole a deux directions asymptotiques dont les coefficients angulaires sont les racines de Téquation

Cm*4-2Bm4-A = 0.

On met ces asymptotes en évidence en écrivant Téquation de la courbe sous la forme

rn Ba:-f-E .

JnART

Supprimons sous le radical le terme constant ^ f nous oble-

nous une nouvelle équation

LUI ^=-^^fH)

qui représente un système de deux droites. C'est précisément Féqualion trouvée (n« tS8) en faisant l'hypothèse />* — ^ = 0.

Fig. 255.

* — VTl'

Chacune de ces droites est asymptote de l'hyperbole. En effet, on voit d'abord que leurs coefficients angulaires

ÉQrATION GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ A DEUX VARIABLES. . 327 sont bien les racines de Téqualion

Cm»-f-2Bm-f-A = 0,

puisque 8 désigne la quantité B' — AC.

Prenons dans l'équation [1] le radical précédé du signe + et donnons à x une valeur supérieure à 3^ dans le cas où />' — 8ç > 0,

ou supérieure à — ^ quand les racines du trinôme sont imaginaires

(n<^ sse et SSY), puis faisons croître x indéfiniment, nous obtenons les branches de courbe telles que A"C ou BC (fig. 255 et 256). Prenons aussi dans l'équation [II] le signe -f- devant y/l, c'est-à-dire

ftr-+-E , \Jl(

Pour une même abscisse :r, y est l'ordonnée d'un point H de la courbe et Y est l'ordonnée du point M, de la droite coL. La différence de ces deux ordonnées tend vers zéro quand l'abscisse x augmente indéfiniment.

En effet

v-,=J[v/5(.H.f)-0(.+f).+fci'J

Multiplions et divisons par l'expression conjuguée de celle qui est écrite dans la parenthèse et réduisons, la valeur de Y — \j prend la forme

En faisant varier ar, soit de a:" à -h», soit de — f à -|-oo,

comme nous l'avons supposé, le dénominateur reste constamment positif et croit indéfiniment en même temps que x ; donc la différence Y — y des ordonnées de la droite wL et de la branche de courbe A"C ou BC tend vers zéro.

De plus, on peut toujours supposer C > 0, 8 est positif par hypothèse; donc

{0 Si />» — 8//>0 (fig. 255), la différence Y — y est positive, donc l'arc de courbe A"C est au-dessous de l'asymptote wL ;

2« Si p« — o^<0 (fig. 256), la différence Y — y étant négative. Tare de courbe BC est au*Klessus de l'asymptote «i>L. De même si on prend la droite

Bx4-E v/5/

m '.=-5^-¥Kf)

et Tare de courbe tel que A"C' ou B'C obtenu en prenant le radical avec le signe —

Bjt+E 1,/7/ pV . 8ç — />*

y.= ê cV K'^-^i) -^^^

En transformant la différence Y, — y^ comme précédemment, on voit qu'elle tend vers zéro quand x croît indéfiniment, et qu'elle esl de signe contraire à p* — S^. Donc la branche A"C' (fig. 255) est au-dessus de l'asymptote coX', et dans la figure 256 la branche B'C est au-dessous de wX'.

Si maintenant nous faisons varier :i; de ^' à — » quand

P^ — ô<y>0, ou de — ^ à — oo quand les racines du trinôme sont

imaginaires, considérons les branches de courbe A'E ou BE et la droite a>X, dont les ordonnées sont

-VK'-f)"-^

\br-h E \/J

La différence de ces oi*données est

X-+-1: étant négatif par hypothèse, puisque x<C — f» on a encore

entre crochets une différence dont les deux tenues augmentent en valeur absolue en même temps que x. Transformons-la, comme précédemment, en multipliant et divisant par le facteur

il vient

v^HF^-^K^-f)

Alors, quand x tend vers — oo , le dénominateur augmentant indéfiniment, Y — y tend vers zéro.

De plus, comme on a ^H-|<0, C>0 et o>0, le dénomi-

Fig, 236.

naleur est positif et la différence Y — y est de même signe que

Donc, si

Tare A'E est au-dessous de Tasymptote wX (fig. 255) ; si

l'arc BE est au-dessus de l'asymptote (oX (iig. 256).

On raisonnera de même pour montrer que la droite coL' est asymptote à l'arc de courbe A'E' et au-dessous de cet arc et que cette droite wl/ est asymptote à Tare B'E' et au-dessus de cet arc.

En résumé, quand 8 > 0, Téquation du second degré représente

une courbe appelée hyperbole^ composée de deux branches situées respectivement dans deu^ angles opposés par le sommet, formés par les droites L'oL, X'<t>X, qui en sont les deux asymptotes. Et la courbe se réduit à ses deux asymptotes dans le cas particulier où p* — 8ç = 0, c'est^-dire quand les racines du trinôme soumis au radical sont égales.

S4I. Hyperbole éqallatérc. — On dit qu*une hyperbole est équilatère, quand ses asymptotes sont rectangulaires. Les coefficients angulaires des asymptotes étant racines de Téquation

Cm»-f-2Bm-4-A = 0,

ces droites sont rectangulaires si m!m" = — 1, c'est-à-dire si A -i- C = 0. Ainsi une hyperbole est équiiatère quand la somme des coefficient» de X" et Y* est nulle, les axes de coordonnées étant d'ailleurs rectangulaires. La quantité B* — AC se réduit alors à B*-f- A*.

S49. Forme de réqnaClon du second defpré dans le cas do «enre hyperbole. — Si On écrit Téquation, comme nous Tavons fait (n° SS4), sous la forme

on voit que, 8 étant par hypothèse positif, Tensemble des termes qui contiennent les variables forme une différence de carrés qui, égalés séparément à zéro, donnent

Ba:-f-Cî/-hE = a-h| = 0, .

équations du diamètre D'D qui divise en parties égales les cordes parallèles à OY, et du diamètre IV conjugué du précédent. Et réciproquement, toute équation de la forme

(ar-f-%-f-c)« — A*(^ — a)* + X=:0

représente une hyperbole proprement dite quand X^^O, et une variété d'hyperbole quand X = 0.

Et si on transforme en produit la différence des carrés, l'équation prend la forme

[(a4-fc)x-f-&J/-l"C — Ax] [(a — A).r-f-*i^-4-c-|-Aa]-f-X = 0,

où les deux asymptotes sont en évidence.

ÉQUATION GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ A DEUX VARIABLES. 94S. Exemples. — I. Soient les trois équations

(y — 2a:-«-l)« + (ar — 3)« — 4 = (y — 2a:-i-l)«4-(x — 3)« + 4 =

Les termes qui contiennent les variables formant une somme de carrés, chaque équation représente une courbe du genre ellipse dont les droites

y — ix-hi=0 a: — 3 =

sont deux diamètres, le 1®' conjugué à la direction OY, le 2* conjugué au premier.

Pour

î^—2.r -1-1=0 (or— 3)*=4 a = 3±2

on a les points A et A'. — Pour

on a les points B et B' (fig. 258).

L'équation [1] représente une ellipse proprement dite,

— [2] — une ellipse réduite au point (o

— [3] — une ellipse imaginaire,