III. Soit

a;' — 2xy + y* — 2aa: -h 2aî/ H- Xa* = 0.

En groupant les termes, on a

(^y)i 2a(a: — y)+Xa* =

ou

ou enfin

x — y — a = ±: a VI — X

qui représente deux droites parallèles AB, A'B' ; elles sont ëquidistantes de D'D, qui a pour équation x — y — a = (fig. 269).

Ces droites sont

réelles et distinctes, confondues avec D'D, imaginaires,

si X<1, si Xjl=1, si X>1.

CondlttoB Bécessalre et •ofllMiBto powr qa'MBe équailoB du secoad de(|ré repréoeate mie ▼arlété de eonlque. — On donne le nom général de conique à toutes les courbes du 2« degré (ce sont en effet les différentes sections planes d'un cône), et une variété de conique se compose d*un faisceau de deux droites, imaginaires et concourantes pour Tellipse, réelles et concourantes pour Thyperbole, parallèles pour le genre parabole. Nous avons démontré précédemment (n® i»8) que la condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation du 2« degré représente un système de deux droites, est

A = AE* — 2BDE -h CD» -h F(B« — AC) = 0,

cette expression A étant ce qu'on appelle le discriminant de la fonction du 2* degré.

La discussion des différents cas que présente l'équation du 2* degré conduit au même résultat. En effet,

i® Pour le genre ellipse ou hyperbole, lorsque C^O, on obtient une variété si les racines du trinôme Sx* -f- 2/)j; -f- ^, soumis au radical, sont égales, c'est-à-dire si l'on a p' — Zq = 0.

Or

Donc

8=:B« — AC p = BE — CD q = E' — CF,

;>' — 8^ = (BE — CD)« — (E* — CF) (B* — AC) = C(AE* — 2BDE -f- CD' -h FB* — FAC) = CA,

et comme C^O, la condition se réduit à A = 0.

Quand A^^O, l'équation représente une ellipse réelle ou imaginaire, ou une hyperbole.

ÉQUATION GÉNÉRALE DU SECOND DEGRÉ A DEUX VARIAfiLES. 541

2^ Dans le cas où C = et B^O, le lieu représenté est une hyperbole proprement dite si le reste R de la division de

--(Aa:«-+-2Dar-f-F) par 2B^x-+-|^

n'est pas nul, et c'est une variété d'hyperbole quand R = 0. Or, le reste de la division d'un polynôme f(x) par j: — a étant /(a),

AE» — 2BDE-f-FB«

Mais si dans le discriminant A on fait C = 0, il reste

A==AE« — 2BDE-f-FB».

Donc la condition R = revient à A = 0.

5<» Si le lieu est du genre parabole, lorsque C:5j^0, il se réduit à une variété de parabole à la condition que /> = ou BE — CD = 0. Mais quand B*— AC = 0, A se réduit à AE* — 2BDE -f- CD*, et

comme a = -t>