II S
SSt. Interprétation de« conditions qnl, dans on problème, dlstlnipaent les différents fpenres on les variétés de coniques.
— Dans la discussion d*un problème, si parmi les données figure un point P(a, p) pouvant occuper une position quelconque dans le plan, les expressions 8 et A dépendent généralement des coordonnées (a, p) de ce point P, soit 8 = cp(a, P); et leâ conditions telles que 8<0, S>0, 8 = 0, A^^O, A = 0, d'où dépend la nature du lieu géomélriqiic trouvé, reviennent à des inégalités telles que (p(a,p)<0, ç(a,p)>0,etc.
Pour les interpréter, construisons d abord la courbe qui a pour équation <p(a:, y) = 0.
Soit C cette courbe (fig. 270), elle partage le plan en régions. Quand deux points M, H' sont dans la même région, on peut, en suivant un contour polygonal MQRM', dont les contours sont parallèles aux axes de coordonnées, aller de M en M' sans traverser la courbe C. Si donc la fonction f{x, y) est une fonction entière de X et de y, comme elle ne s'annule pas dans ce parcours, elle conserve constamment le même signe pour tous les points du plan situés dans la même région, et fig. 270.
change de signe quand le point mobile P
passe d'une région à une autre, ainsi que nous l'avons expliqué déjà (n° tel) pour les régions que sépare une droite. D'après cela, suivant que le point donné P sera placé sur la courbe G, dans une région ou dans l'autre, 8 étant nul, positif ou négatif, le lieu cherché sera du genre parabole, ellipse ou hyperbole. De même, en construisant la courbe qui a pour équation A = 0, on aura le lieu des positions que doit occuper le point donné pour que le lieu cherché soit une variété de conique. — On raisonne d'une manière analogue si le lieu trouvé dépend d'un paramètre variable.
SSS. Exemple. — Problème. — On donne une parabole et un point P ; par le sommet de la parabole on (race une corde quelconque OA, on projette le point A sur la tangente en et on trace CP qui coupe OA en un point H, dont on demande le lieu (fig. 271 ).
L'équation de la parabole est
î/* — 2/>^ = celle de OA
[1] y = mx
d'où, en éliminant y,
ce qui donne pour les coordonnées du point A
et
L'équation de PC est donc
En éliminant m entre [1] et [2], on X a l'équation du lieu :
a(y-p) = (x-a)(=^-p) OU
Fg. 271. (^ a) (2;,a: — py) h- «y (y — p) = 0,
courbe du second degré qui passe par l'intersection des droites ;
X — a=0 et y = point H,
X — a=0 et y — p = point P,
2px — py = et y = point 0,
2pz — p^ = et y = p point E.
En ordonnant, l'équation devient
[5] 2px^ — pxy H- a!/» — 2p%x = 0,
or
8 = | — 2px.
Construisons la courbe qui a pour équation y* — Spx = 0. C'est une parabole LOL' dont le paramètre est Ap (fig. 272).
ÉQUATION GÉNÉRALE DU SECOND DEGftÉ A DEUX VARIABLES. 345
Si P est dans la concavilé de LOL', 8<0, le lieu est du genre ellipse.
Si P est extérieur à LOL', 8 > 0, le lieu est du genre hyperbole. D'autre part, puisque E = et F = 0, on a A=p'a»,
A = revient à a = 0.
Le lieu des points P qui donneront pour le lieu du point H une variété de conique, est donc Taxe des y. Cette droite ne traversant pas la région des ellipses, on n'a jamais une variété d'ellipse ; Y'OY rencontre la parabole limite en : pour ce point on a une variété de parabole.
Si, en effet, on suppose a = 0, l'équation [3] se réduit à
(2px — ^y)x = 0, droites OY et OE,
et si p = 0,
2^1:» = droite double OY.
Fig. 272.
Remarque. — Le lieu trouvé est un cercle si p = et a = 2/>, c'est-à-dire quand le point P est au foyer F de la parabole limite, le cercle trouvé a pour diamètre OF.
EXERCICES ET PROBLÈMES
1. Discuter et construire les courbes représentées par les équations suivantes :
17x« — 8x1/ + 16//« + G4x — 64y — 96 = 6x» — 2xy -h y» — 28x — 24y + 46 = 2x»-2xi/ + fy« — 2i/ + 3 = 0.
Transformer le premier membre de chaque équation en une somme algébrique de carrés.
2. Voir a priori quel est le lieu représenté par chacune des équations
(x + 2y — 2fl)« + 3(a; — a)» -- 7a» = (2a;— î/ — 2a)« + Z(x — a)« = (a; -h y- a)» + 4(a; — a)» -f a« = 0.
