Faire varier X et discuter Téquation
x« + 2Xxy — 2y» 4- 5ay — a« = 0.
ii. Faire varier m et discuter Téquation
12. On donne deux circonférences tangentes, on trace deux cordes
perpendiculaires OA, OB, et on prend le milieu M de la longueur AB. Trouver le lieu géométrique du point M quand Fangle droit AOB tourne autour de son sommet (Hg. 273).
13. On construit des carrés sur les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, et
Fig. 273.
Fiff. 274.
on trace CE, BF qui se coupent en M; le point C restant fixe et le point B étant mobile sur X'X, quel est le lieu géométrique du point M? Voir que cette conique passe par les points 0, C, F ; quelles sont les tangentes en ces points (fig. 274)?
14. On donne deux cercles dont la distance des centres est 2d, les rayons r et r\ On donne à chaque rayon un même accroissement h. Lieu géométrique des points communs aux deux cercles, quand h varie. Discussion. Voir que les coniques trouvées ont pour foyers les centres des cercles donnés. — Peut-on obtenir une parabole?
15. On donne un triangle AOB, rectangle en 0, et un point P (a, p) ; par ce point P on trace une sécante quelconque qui coupe OÂ en A', OB en B', puis les droites AB', BA' qui se coupent en M : trouver le lieu géométrique du point M. — Discuter en déplaçant le point P dans le plan.
Pour quelles positions du point P le lieu de M est-il un cercle (fig. 275)?
16. On donne deux circonférences 0, 0'; on mène à l'une une tangente qui coupe l'autre en A et B, on trace les tangentes en A et B; trouver le lieu de leur point de rencontre M. — Discussion. — Dans quels cas ce lieu se réduit-il à une variété de conique (fig. 276)?
17. On donne deux axes rectangulaires OX, OY, et une parallèle AZ à
Fig. 275.
Fig. 276.
Taxe des
à la distance a; M étant un point quelconque du plan, on le projette en D sur AZ, on trace OM qui coupe
S AZ en B, et par B la parallèle à OX qui coupe OD
en M', i* Exprimer les coordonnées de M' en fonction de celles de M et prouver que la droite MM' passe par un point fixe, quel que soit M. 2* Trouver le lieu du point M' quand M décrit une circonférence de rayon donné r, et dont le centre C est sur OX. — Discussion. — Cas où l'on a une variété de conique (fig. 277).
Fig. 278.
18. On donne deux axes rectangulaires OX, OY et un point fixe P; une droite mobile tourne Fig. 277. autour de P et coupe les axes en A et B. i* Lieu
des points M où se rencontrent les parallèles aux axes menées par  et B. 2* Lieu des sommets de la courbe précédente quand le point P parcourt une droite donnée CD. — Discussion.
19. On donne une ellipse dont le centre est et F un des foyers; on trace la circonférence qui a pour diamètre le grand axe; une perpendiculaire au grand axe rencontre Tellipse en P, la circonférence en Q; on trace les droites (Xî et FP qui se coupent en M; Lieu du point M quand IIQ se déplace parallèlement à OB. — Montrer que cette courbe est circonscrite au rectangle BEB'E'. Construire les tangentes en ces quatre points (fig. 278).
20. On donne une ellipse rapportée à ses axes et une circonférence dont le centre C a pour coordonnées a et p et dont le rayon est R. On mène la tangente en un point quelconque M du cercle, et aux points où elle rencontre Tellipse on mène les tangentes à Tellipse. Lieu du point de rencontre P de ces tangentes quand le point M parcourt le cercle donné. — Etudier comment se modifie le lieu trouvé quand, l'ellipse restant fixe, on déplace le centre C du cercle sans changer son rayon.
21. Lieu géométrique des points tels que leur distance à la base BC d*un triangle isocèle ABC soit moyenne proportionnelle entre les distances aux deux côtés égaux. Montrer que les deux courbes trouvées sont tangentes en B et C aux droites AB et AC.
22. Problème du réverbère, — On donne deux points fixes et B; une corde attachée en B supporte, à l'aide d'une poulie, un poids suspendu en M, et passe elle-même sur une poulie placée en 0, pour redescendre suivant la verticale OY. Trouver le lieu du point M quand la corde glisse le long de OY (tîg. 279). Asymptotes. (Prendre OY pour sens des y positifs).
25. On donne un cercle C langent en à OY, on trace une sécante BEE' parallèle à OX. Trouver le lieu des points de rencontre MM' des diagonales des trapèzes OBGE, OBCE' (fig. 280).
Fig. 279.
Fig. 280.
24. Trouver le lieu géométrique des centres des circonférences qui sont tangentes à une circonférence donnée et passent par un point donné. — Discussion.
25. Un triangle ayant une base fixe et une hauteur constante, trouver le lieu du point de concours des hauteurs. Construire celte courbe et tracer Y les tangentes aux points où elle rencontre la base du triangle.
26. On donne deux axes, OX, OY, et un point P dont les coordonnées sont OA = a, 0B= &; on mène par ce point une sécante quelconque CPD, et on trace les droites AD et BC qui se coupent en M. 1" Trouver le lieu du point M. Montrer que cette courbe passe par les trois points 0, A, B; quelles sont les tangentes en ces points? Points où la tangente est parallèle à OX, à OY. 2* On trace la ligne OM, qui rencontre CD au point Q; lieu du point Q. — A quelle condition ce lieu est-il un cercle (fig. 281)?
27. On donne trois points A, B, C; on trace l'une quelconque des circonférences (o qui passent par B et C, et la corde de contact DE des tangentes menées à cette circonférence par le point A. V Montrer que cette droite DE passe par un point fixe. 2' Lieu géométrique du point de rencontre M de cette corde DE et de la droite Ao) (fig. 282).
28. On donne une circonférence et deux points PQ sur un diamètre; on trace une sécante quelconque CD parallèle à ce diamètre, puis PC et QD qui se coupent en M, PD et QC qui se coupent en N. Lieu géométrique des
Fig. 28L
points Met N (fig. 285). En quel point ce lieu coupe-t-ii le cercle donné? — Discussion. — A quelle condition obtient-on une variété de conique?
Fig. 28Î.
Fig. 283.
29. On donne deux droites Gies R'R» S'S, qui se coupent en 0, on fait
mouvoir une troisième droite PQ de longueur variable, de façon que le triangle POQ ait une aire constante *•.
On trace la perpendiculaire en P à R'R et la perpendiculaire en Q à S'S ; trouver l'équation du lieu décrit par le point de rencontre M de ces deux perpendiculaires. Construire ce lieu, déterminer les asymptotes et les axes en grandeur et en position (fig. 284).
30. On donne une parabole et un point fixe P dans son plan. Le sommet d'un angle droit parcourt la directrice de la parabole, et Tun de ses côtés passe constamment par le point P. Trouver le lieu des milieux des cordes interceptées par la parabole sur l'autre côté de l'angle. — Discussion. — Si le point P se déplace sur une perpendiculaire à l'axe de la parabole donnée, quelle est la ligne décrite par le sommet du lieu précédent?
