CHAPITRE XIII

RÉDUCTION DE L'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ AUX FORMES SIMPLES, PAR LA TRANSFORMATION DES COORDONNÉES.

SS4. Objet de la question. — Nous avons VU précédemment (chap. \ii, n°* 188 à 199), en déHnissant les trois courbes, ellipse, hyperbole, parabole, par la propriété géométrique des foyers, et choisissant convenablement les axes de coordonnées, qu^on peut écrire sous une forme simple Téquation de chacune de ces lignes :

L2] tf = ipx

et encore

La première représente une ellipse ou une hyperbole proprement dite si X= 1 , une variété de ces courbes si X = ; la seconde représente une parabole et la troisième une variété de parabole (deux droites parallèles et équidistantes de X'X).

Nous allons montrer qu'en partant de Téquation générale du 2« degré, on peut, par une transformation de coordonnées, réduire suivant les cas cette équation complète à l'une des trois formes simples qui précèdent. Nous prouverons ainsi l'identité des lignes représentées par l'équation générale du 2« degré et des coniques définies géométriquement.

g I. — CENTRE DES COURBES DU SECOND DEGRÉ

SSS. Définition. — On dit qu*un point est centre d*une figure quand à tout point H de la figure correspond un point H' symétrique de M par rapport à 0, c*est-à-dire qu'en traçant MO et prenant OH'.-=:OM, le point H' est encore un point de la figure (fig. 285). Ainsi le point de concours des diagonales d'un parallélogramme, d*un parallélépipède, sont des centres. La discussion des lignes du genre ellipse et du genre hyperbole (n^* 529 et suiv.) a montré que chacune de ces lignes a un centre.

SStt* Condition nécessaire et «arasante pour qoe l'orli^ne des coordonnées soit centre d*ane conrbe du t* degré. — Théorème. — // faut et il suffit que Cequation ne renferme aucun ternie du premier degré.

En effet : 1* Si l'origine est centre, menons par le point une sécante quelconque; les triangles OPM, OFM', étant égaux, les abscisses des points H et H' sont toujours égales et de signes contraires.

L'équation de la sécante est

y ^= mx.

On obtient les abscisses des points H et H' en éliminant y entre l'équation de la sécante et celle de la courbe

Aa:» H- 2Rr?/ H- Ci/» H- 2D;r H- 2Ey -f- F =

ce qui donne

[5] (A H- 2Bm -f- Cm»)a:« -h 2(D 4- Em)x -h F :

dont les racines doivent être égales et de signes contraires quel que soit m. Donc leur somme doit être identique à zéro. Par suite

D-f-Em = d'où

\D = iE =

RgDUCTION DE L'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ AUX FORMES SIMPLES. 353

L'équation [2] ne renferme donc aucun terme du premier degré. 2« Réciproquement, si cette condition est remplie, Téquation de la courbe étant

[2] Aa:«H-2ftry-hCy'4-F==0,

quelle que soit une sécante menée par Torigine

l'équation qui donne les abscisses des points d'intersection sera

[3] (Ah- 2Bm 4- Cm»)z* -h F = 0.

Elle a donc ses racines égales et de signes contraires,

x = ±ia

et par suite les deux points d'intersection de la sécante avec la courbe sont symétriques par rapport à l'origine; donc l'origine est centre.

Si le coefficient angulaire m de la sécante annule A-H 2Bm + Cm*, les deux abscisses sont -f-«) et — oo. La sécante est alors une asymptote.

SSy. Détemiliiatloii du centre dan* les eonrbes dn second degré. — Soit Téquation

[1] Aar'-f-2ftri/H-Cy«H-2Da;4-2EyH-F =

Proposons-nous de déterminer un point w du plan, tel qu'en y transportant l'origine des coordonnées par une translation des axes, les deux termes du 1*' degré disparaissent. Ce point co sera centre de la courbe : soient a eib ses coordonnées.

Les formules de transformation sont (n° t04)

en substituant dans l'équation [1], celle-ci devient

A(X+a)» + 2B(X+a)(Y+6)+C(Y+fc)« + 2D(X + a)4-2E(Y+*)4-F=0

LAUNAT. — COMPL. DALG. 23

OU, en ordonnant.

AX» + 2BXY-t-CY«-+-2Aa -f-2B* + 2D

2Ba • 2Cè -2E

-Aa« ■ihab.

-2Da

Pour que les coeflicients de X et de Y deviennent nuls, on doit avoir

Ba-f-Cft-hE =

ou, en remplaçant a et fr, qui sont les inconnues, par des coordonnées courantes,

Aar-4-B//-4-D = RrH-Ci/4-E==0

équations de deux droites qui par leur intersection donnent le centre cherché.

SS8. DiseuMion. — Le dénominateur commun des inconnues a et b est précisément B = D* — AC.

Donc î<> si B' — AC=?^0, les deux droites se coupent et leurs équations [2] et [3] donnent pour a et fr des valeurs finies et déterminées qui sont