AE — BD
B« — AC
donc toute courbe du genre ellipse ou hyperbole a un centre unique à distance finie, comme cela résultait déjà de la discussion générale. 2"^ Si B» — AC = et \^ 0, c'est-à-dire CD — BE 9^ 0, les valeurs de a et 6 deviennent infinies; donc, dans la parabole proprement dite, le centre est rejeté à l'infini. Les deux droites [2] et [5] deviennent parallèles.
A B Car la condition B* — AC = revient à ^ = j^: elle exprime que
les coefficients angulaires sont égaux.
D E Et la condition CD — BE ^^ 6 ou ^ # tî exprime que les ordonnées à Torigine sont inégales.
30 Si B* — AC = et A = CD — BE =
cela revient à écrire que
Les équations [2] et [5] ayant alors tous leurs coefficients proportionnels, les deux droites qu'elles représentent sont confondues en une seule dont tous les points sont des centres. Ainsi la variété de parabole a une droite de centres : c'est la parallèle équidistanle des deux droites que représente alors l'équation [1].
SB». Térlflcatlon fpéométrl-
qne. — Soient les deux parallèles AB, CD, et la droite équidistante H'; quel que soit le Fig. 286.
point, 0, 0', pris sur cette dernière ligne, toutes les sécantes MON, M'O'N' ont pour milieu ou 0'. Chacun de ces points est donc un centre (fig. 286).
Il« Classlflcatioii des coniques d'après 1a discussion préeédcnte. — La considération du centre conduit à classer les coniques de la manière suivante :
1** Coniques ayant un centre unique à distance finie, c'est-à-dire ellipse, hyperbole, et leure variétés;
2<> Coniques dont le centre est à Vinfini, la parabole proprement dite ;
3° Coniques ayant une infinité de centres en ligne droite^ variété de parabole.
SSl. Relaie pour écrire Inunédiuiement les équations du centre. — Remarquons que, si on prend les dérivées partielles par rappoi*t à ^ et par rapport à t/ de la fonction du 2<^ degré à deux variables, on a
/•', = 2(A:c-f-Bl/-^D)
/•; = 2(Bj-H-Cy-hE)
Les équations qui donnent le centre peuvent donc s'écrire
De là cette règle : Le» équation» qui donnent le centre dune conique s'obtiennent en égalant à zéro les dérivées partielles du premier membre de V équation de la courbe,
S6t. Calcul du terme constant qnand on transporte l*orlgpine an centre. — Lorsque B" — AC^^O, la courbe ayant un centre unique à distance finie, on peut y transporter l*origine des coordonnées, les ternies du premier degré disparaissent, ceux du second degré ne changent pas et le terme constant devient
[5] Fj = Aa* + 2Bat -h C6» -+- 2Da -h 2E* 4- F
a eib étant les coordonnées du centre, qui satisfont aux relations
[2J Aa-f-B*-hD =
[3] Ba-f-C6-j-E =
Multiplions l'égalité [2] par a, Tégalité [5] par b, et additionnons avec l'égalité [5], il reste
[6] Fi = Da-f.E*-f.F
et en y substituant les valeurs de a et 6 tirées de [2] et [5], on a
P(CD— BE)-+-E(AE — BD)-hF(B*-~AQ *"" B* — AC
ou en réduisant
AE* — 2BDE -h CD» -f- F(B» — AC) A
B* — AC
Toute équation d'une conique du genre ellipse ou hyperbole peut donc se ramener à la forme
Ax*H-2ftryH-Cy*H-^ =
en transportant l'origine au centre.
SOS. Remarque. — Asymptotes d'âne hyperbole. — Si A = et
8 # 0, le terme constant F^ devient nul et Téquation se réduit à
Ainsi pour toute variété d*ellipse ou d'hyperbole, si on transporte l'origine au centre, Téquation devient homogène : elle représente un faisceau de deux droites passant par l'origine ; ces droites sont réelles dans le cas de l'hyperbole. Or l'équation de l'hyperbole elle-même rapportée à son centre est
Aa:* -f. 2Rry -h Gy* -4- Fj ==
en la résolvant par rapport à i/ on a
et nous avons vu que les asymptotes ont pour équation
De là cette règle : Léquation des asymptotes d'une hyperboley rapportée à son centre^ s obtient en supprimant le terme constant dans Véqualion de la courbe.
