II. — DIAMÈTRES ET AXES

se4. Définition. — Diamètre. — On appelle diamètre d'une courbe le lieu géométrique des milieux des cordes parallèles à une direction donnée. La discussion de l'équation générale du 2« degré a mis en évidence certains diamètres correspondant à des cordes de direction particulière.

ses. Équation géDérale d'na dia- — mètre. — Soit une sécante quelconque AB. L'abscisse X du milieu M de la corde '^*

AB (fig. 287) est la demi-sonune des abscisses des points A et B et

celles-cî s'obtiennent en éliminant y entre Téquation de la courbe [IJ et celle de la sécante [2] :

[1] kx" -^ 2Rpy -f-Cf/»-|- 2Dx H- 2Ey -f- F =

[2] y = mx-^p

ce qui donne [3]

(AH-2Bm-f-Cm«).r«-h2[(B-|-Cm)/;-4-Em-4-D]r-f-2E/)-hE/^*-4-F==0

I/abscisse du point M est donc

(B-f-Cm)/>-f-Em-i-D

A-h2Bm-f-Cm*

D*ailleurs les coordonnées du point M satisfont à Téquation [2] de la sécante, et quand celte droite se déplace parallèlement à ellemême, son coefficient angulaire m reste constant, et p varie. L'équation du lieu du point M s'obtient donc en éliminant p entre les équations [2] et [4], ce qui donne

[A -h 2Bm -f- Cm*]X 4- (B -h Cm) (Y — mX) -h Em -4- D =

ou, en réduisant,

[5] (A -4- Bm)X -+- (B H- Cm) Y 4- D -h Em = 0,

équation du 1^' degré; donc tout diamètre d*une courbe du second degré est une droite. En groupant les termes qui contiennent m, cette équation peut s*écrire

AX-|-BY4-D-hm(BX-f.CY-+-E) = c'est-à-dire

Telle est Y équation générale (Vun diamètre d^une conique ^ m étant le coefficient angulaire des cordes que ce diamètre divise en parties égales.

see. iMoeosslon. — Le calcul précédent, quand nous écrivons que l'abscisse du point M est donnée par l'équation [4], suppose que

rexpressîon A-f-2Bm-hGm* n'est pas nulle, c'est-à-dire que la direction m des cordes données n'est pas une direction asymptotique. Nous distinguerons alors les cas suivants :

l^ cas. B* — AC < 0. «enre ellipse. — L'équation A-4-2Bm-4-Cm' =

ayant ses racines imaginaires, le coefficient de x* dans Tôquation [3] n'est jamais nul; donc dans Tellipse une sécante de direction quelconque coupe la courbe en deux points, réels ou imaginaires, mais à distance finie, et à tout système de cordes correspond un diamètre.

MT. 2« cas. B' — AG > 0. «enre hyperbole. -- L'équation A-h2Bm-hCm* = a ses deux racines réelles et inégales; donc pour ces deux valeurs particulières de m, (m' et m"), qui sont ^ les coefficients angulaires des ^ directions asymptotiques, l'équation [5] a une racine infinie, les sécantes AB, A'B', A"B" parallèles à une telle direction ne rencontrent la courbe qu'en un point à distance finie (fig. 288). Quand on donne à m l'une de ces valeurs, m' par exemple, dans l'équation [5], celle-ci représente toujours une droite à distance finie, car, l'équation pouvant être écrite sous la forme [D], la droite passe toujours par le centre dont les coordonnées annulent /''«(X,Y) et /*'y(X,Y).

Le coefficient angulaire de cette droite est égal précisément à m\ car

(A -h Bm')X -I- (B -f- Cm')Y -f- D H- Em' =

a pour coefficient angulaire

8 = et l'identité

■Bm'

B-hCm' A-4-2Bm'-i-Cm'* =

donne

— (A -f- Bm') = (B 4- Cm>i'

donc

A-hBm'

B -h Cm'

et par suite

F^a droite [D], passant par le centre et ayant pour coefficient angulaire celui de l'une des directions asymptotiques, est Tasymptole elle-même. Ainsi les cordes AB, A'B', tracées dans une hyperbole parallèlement à une direction asymptotique, peuvent être considérées comme ayant pour diamètre Tasymptote qui leur est parallèle. Les asymptotes sont ainsi deux diamètres singuliers.

998m Propriété commwne aux coniques A «entre unique* —

Théorème. — Dans une conique à centre, tous les diamètres passent par le centre, et réciproquement toute droite menée par le centre est un diamètre.

En effet Téqualion

est vérifiée, quel que soit m, par les coordonnées du centre.

Et réciproquement Téquation de toute droite passant par le centre, c'est-à-dire par l'intersection des deux droites

r.(X,Y) = 0, fyX,Y) = 0,

est de la forme

Quel que soit X, il existe un système de cordes ayant pour coefficient angulaire m = X, dont une pareille droite est le diamètre.

M9. 3^ cas, — Parabole proprement dite. B* — AG = Ot