CD — BE^O
L'équation
AH-2Bm-hCm« =
B* en remplaçant A par tt» devient
B*-H2BCm-f-C*m« = ou
(Cm + B)« =
RÉDUCTION DE L'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ AUX FORMES SIMPLES. 361 les deux directions asymptotiques se confondent en une seule :
«lO. Théorème. — Tous les diamètres d'une parabole sont parallèles, L*équation d'un diamètre est
[5] (A-f-Bm)X + (B4-Cm)ÏH-D + Em = 0,
Si l'on tient compte de la condition B* — AC = ou A=-p» cette équation devient, en chassant le dénominateur C,
[6] B(B -h Cm)X -f- C(B -4- Cm)Y -h C(D + Em) = 0.
1° Supposons wiijjé: — ^» ou B H- Cm 9^:0; on peut diviser tous les termes par B -f- Cm, et Téqualion se réduit à
B -h Cm
Le coefficient angulaire est donc égal à — -» et reste constant
quand m varie.
2° Si les sécantes menées à la parabole ont pour coefficient angu-
faire m = — -^^ l'équation du diamètre correspondant devient 0.X + 0.Y-4-CD — BE = 0,
et comme CD — BE n'est pas nul, cette droite s'éloigne indéfiniment.
Ainsi tout système de cordes non parallèle à la direction asymptotique a un diamètre; tous ces diamètres sont parallèles eux-mêmes à la direction asymptotique, mais les sécantes parallèles à cette direction ont leur diamètre rejeté' à Vinfini.
Il est facile de vérifier que réciproquement toute droite dont le
coefficient angulaire est égal à — -7 est un diamètre.
STi. ¥ cas. — Variété de parabole. B' — AC==0, et
562 GÉOMÉTRIE ANAUTIQUE.
RF
CD — BE = 0. En remplaçant, dans Téqualion [6J, D par-jr» celte
équation devient
[7] B(B -h Cm)X -4- C(B -4- Cm)Y 4- E(B 4- Cm) = 0.
Donc, si m 9^ — t^» on peut diviser tous les termes par B-4-Cm,
et il reste
BX-f-CY-f-E = 0.
Mais si m = — -» Téquation [7] se réduit à une identité, = 0.
Donc la variété de parabole a un diamètre unique qui est la droite de centres (fig. 286), et les sécantes tracées parallèlement à celte direction ont leur diamètre indéterminé.
Slt. Diamètres eonjngnés. — On appelle ainsi deux diamètres tels que chacun d*eux divise en parties égales les cordes parallèles à Tautre.
En désignant par S le coefficient angulaire d'un diamètre, et par m celui des cordes qui lui sont conjuguées, on a
^ k-^Bm ^ "" B -f- Cm ou
C8m4-B(8-hm)4-A =
relation qui ne change pas quand on y permute 8 et m ; donc, en appelant m' et S' les coefficients angulaires d*un autre système de cordes et de leur diamètre, si Ton prend m' = 8, on en déduit
Dans Tellipse, à tout diamètre correspond un diamètre conjugué.
Dans rhyperbole, il faut excepter les asymptotes, diamètres singuliers, parallèles aux cordes qui leur sont conjuguées; le diamètre conjugué d'une asjTiiptote coïncide avec celte asymptote.
Dans la parabole, il n*y a pas de diamètres conjugués, puisque les diamètres sont tous parallèles.
SVS* iqaation représentant le fatscean des asymptotes. —-*
Une asymptote étant un diamètre a une équation de la forme
[D] f,(X,Y)-4-mr,(X,Y) =
avec la condition
[C] Cm«-4-2Bm4-A =
qui eiprîme que les cordes conjuguées ont une direction asymptotique; si donc on élimine m entre les équations [C] et [D], l'équation qui en résulte est vérifiée par les coordonnées de tout point situé sur l'une quelconque des asymptotes de l'hyperbole; tirant m de [D] et substituant dans [G], on a
ou
[U] C( AX + BY -I- D)« — 2B(AX -f- BY -f- D) (BX + CY -f- E) -+-A(BX4-CYh-E)« = 0:
c'est Véquaiion quadratique des asymptotes de l'hyperbole.
ST4. Cordes principales. — On appelle cordes principales celles qui sont perpendiculaires à leur diamètre ; ce diamètre est alors un axe de symétrie.
Les coefficients angulaires 8 et m d'un diamètre et de ses cordas conjuguées étant liés par la relation
[1] C8m4-B(8H-m)-hA==0,
si l'on y joint la condition
qui exprime que le diamètre est perpendiculaire aux cordes, on a, en éliminant S,
[3] Bm«-f.(A — C)wi — B =
équation qui donne les coefficients angulaires des cordes prînci-
Cette équation se réduit à une identité quand on a B = et C = A : c'est le cas du cercle; en effet, dans le cercle, tout système de cordes est perpendiculaire au diamètre correspondant.
Ce cas exclu, les racines de l'équation [3] sont réelles et inégales, et leur produit m'm" est égal à — 1 ; donc toute conique a deux systèmes de cordes principales qui sont rectangulaires.
STS. Axes, — Théorème. — V ellipse et V hyperbole ont deux axet^ la parabole a un seul axe. En effet : 1® Dans les courbes à centime unique, à tout système de cordes correspond un diamètre à distance finie ; donc, dans les courbes du genre ellipse ou hyperbole, à chaque système de cordes principales correspond bien un axe; ces deux axes sont rectangulaires et ont pour coefficients angulaires les racines de l'équation [3], car celle-ci ne change pas si Ton y change
m en
2° Si l'on tient compte de la condition B* = AC, les racines de
réquation [5] deviennent
__ C — A±V(A — C)'-I-4AG C — A=b(A-f-C) """" 2B "" 2B '
c'est-à-dire
Or m'' est le coefficient angulaire de la direction asymptotique de la
parabole, et nous avons vu (n^ MO) que le diamètre correspondant
à ce système de cordes est rejeté à l'infini.
La parabole n'a donc qu'un axe à distance finie, conjugué aux
cordes dont le coefficient angulaire est tt; celui de Taxe est donc — r-r
résultat prévu, puisque l'axe est un diamètre particulier.
STU. Remarque. — F^es directions des cordes principales, et par suite des axes, ne dépendent que de A, B et G; donc, si dans les équations de deux coniques les coefficients des termes du 2^ degré sont égaux ou proportionnels, ces deux coniques ont leurs axes parallèles.
Syy* Équation quadratique dn système des deax axes d*«iie eoorbe * «entre. — Tout axe étant un diamètre a pour équation
[D] r.-i-mry=o
pourvu que m soit le coefficient angulaire d'un système de cordes principales, c'est-à-dire racine de
[3] Bm*-+-(A — C)m — B = 0.
On aurait donc successivement chacun des axes en substituant dans
réquation [D] chaque racine m', m" de Téquation [3], c'est-à-dire en éliminant m entre ces deux équations. L'élimination se fait très simplement en tirant m de l'équation [D] pour substituer dans l'équation [3], ce qui donne
B(r,)' - (A - C)/"../-', -B(rs,)« = 0.
C'est réquation quadratique des axes.
Celle des asymptotes est (n® »*»)
LU] c(rx)«~w.ri/-HA(ry)*=o.
SIS. Exemple. — Soit la conique dont l'équation est
2x« + 4ry — y* -I- 2a: — 4y = .
On a
8 = >l4-2, c'est une hyperbole.
nA-
