r — y — 2 2drv/6 2:c4-2y-hl

ou, en séparant les signes et ordonnant,

2v/6:c4-2(3 4-v/^y-f-6 4-V^ = L'coL, et

L'axe des x coupe la droite coL au point E, dont Tabscisse = — 1,72, et la droite <oX au point e, dont l'abscisse =-4-0,72. On peut ainsi construire facilement la courbe, qui d'ailleurs passe par l'origine.

S99. Axe d*ane parabole. — Tout diamètre de la parabole a

pour coefficient angulaire — ^ • les cordes principales ont donc pour

coefficient angulaire H-^^ donc l'équation de Taxe est fA.] /•'.-+-£/-, =

B(Aa: -4- Bî/ -4- D) 4- C(Br -f- Cy -4- E) =: B(A-hC>r-4-(B«-f-G*)//-f-BD-hCE =

et, comme A = -tt-»

S80. Variété de parabole. — Si on SUppOSC CD — BE = 0, c'est-

BE à-dire D = -jr-» l'équation de Taxe se réduit à

Bc-4-Cy4-E = 0.

C'est le diamètre unique que présente la variété de parabole.

§ m. — RÉDUCTION DE L'ÉQUATION GÉNÉRALE.

Mi. 1'' Cos. — Courbes do genre ellipse on hyperbole. — -

L'étude que nous venons de faire montre que, dans le cas où B* — AC^O, on peut, par un changement de coordonnées, réduire l'équation générale à trois termes; en eiïet, la courbe ayant un centre, si on le prend pour origine, les termes du premier degré disparaissent; puis, la courbe ayant deux axes de symétrie, si on les prend pour axes de coordonnées, les variables a: et j^ ne doivent plus figurer qu'au carré ; l'équation doit donc se ramener à la forme

SV-4-SV-f-Fi =

La première transformation ayant pour objet de transporter l'origine au centre a été faite précédemment (n® M») ; l'équation générale du 2" degré est alors réduite à

AX«-h2BXY + CY»-h|=0.

Faisons maintenant tourner les axes autour de la nouvelle origine, d'un angle (X que nous allons déterminer, de telle manière que le terme en X¥ disparaisse ; les formules de transformation sont

X = ^ cos a — y sin a Y = .r sin a -+- y cos a

Substituons X et Y dans l'équation [1], elle devient

\{x cos a — y sin a)* H- 2B(a: cos a — y sin a) {x sin a -H y cos a)

-I- G(a; sin a 4- y cos a)* 4- -r =

OU, en développant et ordonnant.

A cos' a

■+■ 2B sin a cos a

-h G sin» a

X* — 2A sin a cos a — 2Bsin«a 4-2Bcos*a + 2Csinacosa

xy-hA sin* a — 2B sin a cos a -h G cos* a

Pour que le terme en xy disparaisse, annulons son coefficient, ce qui donne

(G — A) sin a cos a -h B(cos» a — sin» a) =

Btang«a-h(A — G)tanga — B =

C'est l'équation

Bm»-h(A— G)m — B =

qui donne les coefficients angulaires des axes ; donc les nouveaux axes de coordonnées seront bien les axes de symétrie de la courbe ; mais, au lieu de résoudre par rapport à tanga, il est plus simple de faire le calcul de la manière suivante :

RÉDUCTION DE I/ÉQUATION DU SECOND lOGnË AUX FORMES SIMPLES. S60 L*équation [2] peut s'écrire, en multipliant par 2,

[2] (C — A) sin 2x H- 2B cos 2a =

et donne [2] tang2« = ^^.

valeur déterminée, puisque nous avons exclu le cas où l'on aurait simultanéjnent B = et C = A .

Ou déterminera par cette formule un angle co, ccunpris entre zéro

et 7t et ayant pour tangente •j-—%-

Donc en général

2a = Kiç •+• (û

a = Kg + 3

Cette formule détermine quatre directions distinctes pour Taxe positif des j; :

Soient OA et OA', OB et OB' directions opposées deux à deux.

Choisissons pour Taxe des x positifs la direction OA qui fait avec OX Tangle o^ compris entre

et^; Taxe des y positifs sera

alors dirigé suivant OB(rig. 290).

%%%. Cttlcal de

reanx eoeflicleiite de x^ et y'.

Posons

S' = A cos* a -h 2B sin a cos a -h C sin' a S"= A sin* a — 2B sin a cos a -f- C cos' a

On en tire, en ajoutant et retranchant,

[3J (S'4-S"=:A-hC

[4] I S' — S" = (A— C) c09-»«-f. 2B sin 2a

UUHAT. — COXPL. D'aLC.

Or réqualion [2] donne

sm 2a = cos 2a =

Par suite les équations [3] et [4] deviennent

L*angle 2a étant par hypothèse compris enti*e et ?r, son sinus est positif, donc on doit prendre devant le radical le si^e de B ; si par exemple B est positif, on tire de [5] et [5]

S" = irA-+-C-v/(A-C)«^4B«l

Si d*ailleurs on retranche le carré de l'équation [5] du carré de réquation [5î], on en déduit