S'S" = AC — B

Connaissant la somme et le produit de S' et S", ces deux nombres sont les racines de Téquation

S« — (A4-C)S-f-AC — B* = ou

La courbe est une ellipse ou une hyperbole suivant que S' et S" sont de même signe ou de signes différents; aucun de ces nombres ne peut être nul.

SM. Éqaatloa metUint en évldenee les loaipievra 4e« «emi-axes. — L'équation d une courbe à centre peut toujours se ramener à la forme

I. Genre ellipse. — Si la courbe est du genre ellipse, 8 <0 ; maïs

o==B« — AG = — S'S"

RÉDUCTION DE L'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ AUX FORMES SIMPLES. 371 réquation devient donc

sv-i- S'y -§1^=0.

En faisant y = on a ^' = 07

et pour x =

Donc i^ si A est du même signe que S' et S'% on peut poser

gA = fc. d'où S" = ^ et, en divisant tous les termes par ^7^^» Téquation devient -' + ?î — i = ellipse réelle,

i^ Si A est du signe contraire à S' et S", on pose A , A M H' ' Q' A ^„ A

ce qui donne

— -h ^ -i- i = ellipse imaginaire.

3*» Si A est nul, il reste, en posant S' = — et S" = r-,»

X^ lyt

-r + t; = variété' d'ellipse.

II. Genre hyperbole, — Dans ce cas B > 0, donc S' et S" sont de signes différents. i<> Si A n'est pas nul, supposons A de même signe que S" et posons

d'où S' = "^

d'où S' = —

Téquation se réduit donc à

fi — fi — 1=0 hyperbole

et si A est du signe de S', on a Téquation

— — — -1-1 = hyperbole conjuguée de la précédente.

2° Si A = 0, posons

l'équation prend la forme

JT* 1/*

— — ïi = var jV/« d* hyperbole.

On retrouve donc ainsi les formes simples des équations de ces deux genres de courbes.

SM. Exemple. — Soit l'équation

14:c» — 4jry-f-ll^« — 8.r — 106y-4-209 = 8 = 4 — i4xii<0 la courbe est du genre ellipse.

Les équations du centre

o . jj K-ï A donnent. . . ^

— 2x-+-Hy — 53 = /y^=5

En transportant l'origine en ce point, le nouveau terme constant est

Fi = Dxo-hEyo-^F = — * — 53x5-4- 209 = — 60

La nouvelle équation de la courbe rapportée aux axes coX, oiY est donc

14X»->4XY-4-liY« — 60 =

Pour faire disparaître le ferme en XY, nous faisons tourner les axes d un angle « < s et tel que

inntr vot = =

■■■nj'-

Prenons donc a)C = 3 et CT' = — 4, 2a = X<oT, dont la bissectrice est le nouvel axe positif (oXi ; Taxe positif <oYi fait avec OX

rangleQt4-^(fig.291).

La nouvelle équation sera donc