S''Y«-+-2PX

On y arrive par deux transformations successives : i* par une rotation des axes, d un angle a convenablement choisi, on fait disparaître le terme en xy et le terme en x^ ; 2<» en déplaçant Torigine nous pourrons annuler le terme en y et le terme constant.

Soit réquation

A:t« 4- 21lry -4- C//» -f- 2Dx H- 2Ey H- F =

Par ' hypothèse B* — AC = 0, A et C ne peuvent être nuls simultanément, car alors B serait nul aussi. Supposons C # 0. On en déduit

et réquation prend la forme

[1] fi(Ri:-+-Cj^)'4-2Dx+2Ey4-F = 0.

Va

C'est qu'en effet dans l'équation de la parabole le$ terme» du 2« degré fo)^ment un carre' parfait.

S86. Première transformation. — Botatlon des axes. — Les formules de transformation sont

x = \ cos a — Y sin a y = X sin a 4- Y cos a

réquation [i] devient donc

TTr(Bcosa-hCsina)X-h(Ccosa — Bsina)Y| -l-2(Dcosa-HEsina)X H-.2(Ecosa — Dsina)Y4-F = 0.

Annulons dans le carré mis ainsi en évidence le coefficient de X, langle a doit alors satisfaire à la condition

[2] Bcosa-hCsina — ou tanga = — g

On voit que tang a est bien le coefficient angulaire de la direction des diamètres de la parabole.

On en déduit

8in« =

cos a =

VB*

dzv/B«H-C»

L*équation de la parabole se réduit donc à

[3] S''Y»-f-2PX-f-2QY-HF =

en posant

S-' = *(Ccosa~Bsina)« = J[^^J*=J(C'H.B«)