CE-4-BD
±v/CM=nB«
On peut toujours déterminer un angle (o compris entre et w et
tel que tangco = — -,; tous les angles satisfaisant à la condition [2]
sont donc compris dans la formule
a = Kic -H to)
Ce qui détermine deux directions opposées OX et OX'* Convenons par exemple de prendre K = 0, c'est-àdire de diriger le nouvel axe positif des X suivant OX ; alors a étant compris entre Oet «, sina>0; nous „. ^^
* rig. Z9z.
devrons alors affecter v/B* -h C* du
signe contraire à celui de B. Ijes coefQcients de Téquation [3] sont ainsi complètement déterminés par les formules [4]; d'ailleurs S'':^0, car, B' — AC étant nul, si B^O, A et C sont de même signe, donc A-hC^O; siB = 0, on doit avoir A = et C^O.
88V. Deuxième transformation. — Héplacement de Torlgtiie. —
La courbe étant une parabole proprement dite, A = CD — tE^O; donc P n*est pas nul. Transportons Torigine en un point 0| dont
376 GÉOHÉnilE ANALYnQUË.
Dous déterminerons les coordonnées x^^ y^ de manière à annuler le coefficient de y et le terme constant.
Les formules sont
L'équation [.î] devient donc
S" (Jo -H Y,)' -4-'2P(a:o 4-X,) H-2Q(y, ^ Y.) -4- F =
ou
S''Y,«-+-2PXi-h2S''yo -h2Q
-H2Pa:or n
d'où résultent les conditions
[7] S"yo-+-Q =
[8] SV-+-2P:r,4-2Qyo-f-F =
1/équation [7] donne pour y^ la valeur finie et déterminée y© = — ^r Multiplions Téqualion [7] par yo et retranchons-la de [8], il reste
2Pa:o-hQyo-f-F = d'où l'on tire
Qyp F Q«~S"F ^^~ 2P 2P"~ 2PS"
valeur qui est au^si finie et déterminée, puisque ni P ni S" ne son! nuls.
S88. Z^ cas. — VaHété de parabole. — La rotation des axes de coordonnées donne toujours Téquation [5], mais comme
A=cD— ;be=o
on a alors P = 0, et l'équation [3] se l'éduit à
S"Y«H-2QY-f-F = 0.
Le déplacement de l'origine permet d'annuler le coefficient de Y
^n prenant comme ci-dessus
nÉDUCTION DE L'ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ AUX FORMES SIMPLES. 577 et le terme constant, indépendant de x^^ devient
L'équation se réduit donc finalement à
S89. ÉqvaUoAs rédoltes d'aoe parabole et d*aoe variété de parabole. — i° L'équation d'une parabole proprement dite peut se ramener à la forme
S'%«-h2PXi =
ou
Il — ^ ^/ ^t
D*ailleurs on peut toujours choisir le sens de Taxe positif O^Xi de telle sorte que P ait un signe donné, par exemple le signe contraire
p à celui de S"; alors nous pourrons écrire — rT/==/^ P étant une
longueur positive, et Téquation devient
p est le paramètre de la courbe.
^^ Soit réquation réduite d'une variété de parabole
S"V-4-F, = ou V^iî =
Suivant que Fi est de signe contraire à S", ou de même signe, ou nul, on peut poser
I* — — A^ ij = -f- A» ~* =
et réquation se réduit à :
Y* — A* = deux droites parallèles et réelles Y* -I- A* = deux droites parallèles imaginaires Y* = une droite double OX.
S90. Exemple. — Soit à réduire Téquation
[!] 9x« — iixy -h i6y« -h 4aa: -h Say — 12a» =
Nous ferons disparaître les termes en x* et en a:y par une rotation des axes telle, que
tanga = ~- = 4-T^ = T
Fig. 3»3.
Prenons donc
