CHAPITRE XIV

§ 1. — PROPRIÉTÉS FOCALES

Théorèmb. — Le lieu géométrique des points d'un plan dont les distances à vn point fixe et à une droite fixe de ce plan sont dans un rapport constant, est une conique.

En effet, prenons la droite donnée pour axe des y, soit F le point fixe; prenons pour axe des x la perpendiculaire abaissée de ce point sur OY, et soit a l'abscisse de F, H étant un point quelconque {x, y) du lieu (fig. 298) :

MF = v/(a: — a)«-h2^« on doit avoir HP

MH = ^

ç-y = e, 6 étant un nombre donné ; Mn

donc

ou

Fig. 898.

(x — %Y-hy* — e^x^ =

équation du second degré en x eiy; le lieu est donc une conique. Discussion. — En ordonnant Téquation, on a

(1 — e»)x» -+- y» — 2our -h a* = 0.

8 = B« — AC = <?^ — i

UUKAT. — CONPL. D*AL6.

et comme le nombre e est essentiellement positif, si

le lieu est du genre ellipse;

— — hyperbole;

— — parabole.

Formons le discriminant, son expression se réduit à

A = CD» -h F(B« — AC) = a» -+- a»(<j» — i ) = 3i»e» donc A est nul si Toa a

e = ou %=^0.

1° Si e=:Oy Téquation se réduit à (x — a)»-Hy* = 0; elle représente une variété d*ellipse qui est le point F.

2* Si a = 0, c'est-à-dire si le point F est sur la droite donnée, il reste (1 — e*)a:^ -h y» = 0, système de deux droites, imaginaires, réelles ou confondues, suivant que c<;i, e>l ou e=i.

5° Enfin, si e = oo , il reste a.'- = 0. c'est-à-dire la droite double OY, résultats prévus géométriquement.

La variable y ne figurant qu'au carré, la droite OFX est un axe de symétrie, et cet axe rencontre toujoure la courbe en des points réels, car, en faisant y = dans l'équation, on a pour déterminer les abscisses des points de i*encontre avec OX,

(i— eV — 2aa--f-a» =

ont les racines sont toujours réelles, quel que soit e. Ces racines sont finies lorsque e^l, .r'= t-- — ' x" = -. • et

si e= i. Tune des racines devient infinie et l'autre a:"=^-

39S. DéOnitions. Foyer. Dlreetrlce. Exeentrlelté. — NouS appelons foyer le point fixe donné F, et directrice la droite donnée ; le rapport constant e est V excentricité. C'est de la grandeur de ce nombre que dépend le genre de la courbe ; l'axe qui passe par le le foyer F est Vaxe focal, et la directrice lui est perpendiculaire.

31M. Propriété aoalytlqae d'un foyer. — THÉORÈME. — La distance d'un foyer F d^une conique à un point quelconque M de la

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courbe est une fonction linéaire des coordonnées X et Y de ce point M. En effet, soit F(a, p) un foyer, D la directrice correspondante (fig. 299) ; Téquation de cette droite étant

te -H my -+- A =

la distance HH du point F à cette droite

est (n<> 260)

MH =

/X-+-rnY-f-A

"îi'gtiY) \

Fig. 299.

X, Y étant les coordonnées d*un point

quelconque M de la courbe, F étant un foyer, on doit avoir

MF

MH

donc

= e ou MF = exMH /X-i-mY-4-A

MF = e

nr

expression rationnelle, entière et du 1" degré en X et Y; c'est ce qu'on appelle une fonction linéaire; tandis que si le point F n'est pas un foyer, la distance MF est donnée par la formule

MF = v/(X — a)«-h(Y — p)»

expression irrationnelle en X et Y.

Ceci est vrai quels que soient les axes de coordonnées, car le changement des coordonnées ne modifie pas le degré de la fonction Ix-hmy-hh.

sus. Réciproque. — Si la distance d'un point quelconque M d'une conique à un point F du plan est une fonction linéaire des coordonnées X, Y du point M, le point F est un foye7\

En effet, soit

MF = /XH-mY-h/i.

On peut toujours tracer dans le plan une droite D ayant pour équation

Ix -h tny -t- h =

el la distance du point M à cette droite D a pour expression

donc

IIP

5iH = v//' + m.

Ce rapport est donc constant, donc F est le foyer qui correspond à la directrice D.

Corollaires. — 1. Cette propriété analytique permet donc de définir un foyei* en disant que cest un point fixe dont la distance à un point quelconque de la conique est une fonction linéaire des coordonnées de ce dernier points

II. La démonstration précédente nous apprend en outre que, si Ton connaît Texpression de MF en fonction de X et Y, Téquation de la directrice qui correspond au foyer F s'obtient en égalant cette expression à zéro.

III. L'excentricité e est égale à la racine carrée de la somme des carrés des coefficients de X et Y dans l'expression de la distance MF.

999. Équation focale d'une coniqne. — D'après le théorème précédent, si a et p sont les coordonnées d'un foyer, la distance FM de ce foyer à un point quelconque M de la conique a pour expression

FM = v/(x — *)«-!- (y- p)«

el comme elle doit être une fonction linéaire de x et y, on doit avoir pour tout point M de la courbe

ou

v/(j: — aj« H- (jy — p)« = ^ -h my H- A [F] (^.--a)»-^(î/ — p)«— (/^-+-my-+-A)« = 0.

Cette équation [F] est donc l'équation de la conique dans laquelle sont mises en évidence les coordonnées a, p d'un foyer; l'équation écrite sous cette forme est appelée ïéquation focale de la courbe, l'équation de la directrice correspondant au foyer (a, p) étant

et l'excentricité

ÉTUDE DES CONIQUES A L'AIDE DE LEURS ÉQUATIONS RÉDUITES. 380 SM. Exemples. — 1<^ Soit Tëquation

[i] (x-b)fiy-{-(y-by-(x-hy\f^-bs/2y =

Cette équation représente une conique dont un foyer F a pour coordonnées b\/î et fe ; la directrice correspondante a pour équation

:c-f-yV^ — fev/^=0

C'est la droite AB (fig. 500).

Cherchons l'excentricité x'

Or