MU

m'=(x—b)/îy-h{y—by

ou, en vertu de l'équation [1],

MF = {a;4-yv/2 — tv/2)*

D'ailleurs

donc

^"= TPà

La courbe est donc une hyperbole.

L*axe focal ZFZ' perpendiculaire à AB a pour équation

y-b = (x-bs/^)s/^.

Le point I où il coupe X'X a pour abscisse

=4=J^n/^=|oa.

Si on réduit réquation [1], on a

alors

donc le point I est centre, par suite l'autre foyer est en F' sur OY', et la deuxième directrice est OD', parallèle à AB.

Les asymptotes sont X'X et L'L, les sommets S et S'.

2® Soit l'équation

C'est l'équation focale d'une' conique dont l'origine des coordonnées est un foyer.

La directrice L'DL ayant pour équation

l'excentricité est e.

Si on suppose e = l, la courbe est une parabole; l'équation se réduit en effet à

qui met en évidence l'axe y = 0, c'est-àdire X'X, et la tangente au sommet

a: -h I = 0, soit T'ST, le sommet S étant

au milieu de FD (fig. 501).

S99. Détermlnatloii des foyers d'nne Pig, 30, ellipse. — Nous savons qu'en rapportant

une ellipse à ses deux axes de symétrie, on peut toujours ramener son équation à la forme

Si on désigne par a et p les coordonnées d'un foyer, l'équation de de cette conique pourra être écrite sous la forme

(x — «)» -H (y — p)' — (fa -i- mj, -t- A)' = 0.

Ces deux équations [1] et [2] devant représenter la même courbe, il faut que les coefficients de tous les termes soient proportionnels. Donc, en multipliant le premier membre de Tune par un coefficient convenable X, il devient identique au premier membre do l'autre; on a donc Tidentité suivante :

(fi-+-|;-l) = (^-»)'-+-(»-P)'-(^^+'«i/ + ^)"

c'est-à-dire que le premier membre de cette identité doit être un carré parfait.

Si on Tordonne, ce premier membre se réduit à

Puisqu'il ne contient pas de terme en xy^ le second membre n'en doit pas contenir non plus, ce qui exige que l'on ait ou /=0 ou m = 0. 1** Soit m = 0. La variable y ne ^gurant pas dans le second membre qui est réduit à (te -h A)*, cette variable ne doit pas figurer dans le premier membre ; de là les deux conditions

[h] 1— ^, = ou X = t»

et il reste

[6] ( 1 — ^) X'- — 2ax H- a* -h tV

Pour que ce trinôme soit un carré, il faut que ses racines soient égales; donc

Donc, en supposant a>» i, on trouve deux foyers réels situés sur le grand axe de la courbe et dont les abscisses sont a = d: c, en posant a' — b* = c*.

^ Supposons / = 0. Ce sont alors les coefficients de x* et de x qui doivent disparaître; les conditions sont donc

1— -, = ou X = a« et a =

et il reste le trinôme

qui, devant être un carré, donne la condition

p« — A— ^)(p*-f-a»)=0 ou p» = ft» — a«

Les valeurs de p sont donc imaginaires, puisqu^on a supposé a*>fr'. L^ellipse a donc seulement deux foyers réels.

BlMetrices. — Si dans le trinôme [6] on remplace a par c et a* — b* par c*, ce trinôme devient

c'est-à-dire

— x' — 2cx -4- a*, a*

il'-')'

L*équation focale [2] se réduit donc à

Par suite, Téquation de la directrice qui correspond au foyer de droite est

ÉTUDE DES CONIQUES A L'AIDE DE LEURS ÉQUATIONS RÉDUITES. 305 Et si Ton prend a = — c, réquation focale est

la directrice correspondant au foyer de gauche est donc