Constmction des foyers et des direetrlees de l'eUlpse

— Les foyers F et F' sont à Tinterseclion du grand axe avec la circonférence de rayon a décrite du sommet B comme centre (fig. 502). Le pied de la directrice DL s^obtient en traçant la circonférence de rayon OA et la tangente à cette circonférence au point P, qui a même abscisse que le foyer F ; le triangle rectangle OPD donne en effet

UP^=OFxOD

a' = ex.

Fig. 302.

La directrice D'L' est symétrique de DL par rapport au petit axe.

dot. Bayons Teelenrs d'nne eUipse. — Soit H un point quelconque de l'ellipse. 1^ Si on le joint au point F dont Tabscisse est c, réquation focale [5] montre que

a*y [ex — g*)* (ex

donc

Or - est moindre que 1 , et pour tout point de Tellipse la valeur

absolue de x est moindre que a; donc a est négatif; l'expression de la distance positive MF est donc

2*» Si on remplace le foyer F par le foyer F', il suffit de changer c en — r, ce qui donne

[2] MF--=a-i-^,

expression toujours positive, quel que soit le signe de x^ puisque la valeur absolue de - x est toujours inférieure à a,

40S. (Somme des rayons vecteurs de tovt point d'nne ellipse.

— Si on additionne les égalités [1] et [2], on a, pour tout point de la courbe, quel que soit x,

MF -f- MF = 2a;

donc la somme des deux rayons vecteurs d'une ellipse est constante.

C'est la propriété géométrique par laquelle nous avions primitivement défini cette courbe.

I. Foyers de l'hyperbole. — L*équation de Thyperbole rapportée à ses axes

ne diffère de celle de Tellipse que par le changement de b^ en — b*. Si nous appliquons à cette courbe les raisonnements et les calculs faits (n° S99) pour Tellipse, nous sommes conduits aux résultats suivants :

i° En supposant m = 0, c'est-à-dire MF fonction seulement de x,

Xrr^ — è« p=:0 a» = a« -h fc*

ÉTUDE DES COMQIES A L'AIDE DE LflURS ÉQUATIONS RÉDUITES. 305

Cette expression de a est toujours réelle, et en posant

on a

2^ En supposant / = 0, c*est-à-dire MF fonction de la seule variable y^ on aurait

a = p* = — (a* -f- 6«) donc p imaginaire ;

on a donc enc(jre deux foyers réels, et ils sont situés sur Taxe transverse de la courbe.

Les directrices correspondantes ont toujours pour équations :

Tune X = -

l'autre x = —

et Texcenlricité e = - > 1 a

4#S. Constraetlon des foyers et des dlreetrlces de l'hyperbole. — Nous savons que si aux extrémités AA' de l'axe transverse on élève des perpendiculaires AB, A'B' égales chacune à fe, les droites I/OBL,XOB'â' sont les asymptotes, puisque leurs coefficients angulaires

sont H- - et ; la lon-

gueur c valanl y/a* -+- fr' est l'hypoténuse OB du triangle rectangle OAB ; si on rabat cette longueur de en F et de en F' sur Taxe transverse, on a en F et F' les deux foyers (fig. 503).

Et si de F et F' on abaisse sur les asymptotes les perpendiculaires FH, FH', puis de H et H' les perpendiculaires DV, D'V à l'axe transverse, ces lignes sont les deux directrices, car le triangle OHF est égal au triangle OAB comme ayant l'hypoténuse égale et un angle aigu commun ; donc OH = fl, et dans le triangle OHF on a bien

40B. Bayons TecCeiur* de l'hyperbole. — 1® Considérons un point M sur la branche de droite, et joignons-le au foyer de droite F; l*équation focale

(x-c)' + î,» = -(x--) montre que

Choisissons le signe pour que cette expression soit positive; or ici

a donc

->1 et a;>a, donc-a:>a, a a

[1] MF = ~-a.

Traçons MF'; l'équation focale où Ton met en évidence le foyer F est

ce qui donne

L^expression écrite dans la parenthèse est positive, il faut donc la faire précéder du signe H-, donc

[2] MF'=:^+a.

S"» Prenons un point M' sur la branche de gauche; on a encoi*e

Mais ici x étant négatif, et la valeur absolue de -x étant plus

grande que celle de a, il faut dans chaque expression prendre le signe — , ce qui donne

40y. Différence des rayons Tectenrs d'nn point queleornupe de l'hyperbole. — Si on retranche Tégalité [1] de l'égalité [2], on a

MF — MF = 2a

et si on retranche 1 égalité [4] de l'égalité [3], on a aussi

MT — Mr = 2a.

La différence des rayons vecteurs d'un point quelconque de l'hyperbok est constante,

40H. Foyer et direetriee d*nne parabole* — L'équation focale étant

[1] (.r — a)«-h (y — p)«(to4.mt/H-A)* = 0,

identifions-la à celle de la parabole rapportée à son axe de symétrie et à la tangente au sommet :

[2] y* — ipx =

Il en résulte l'identité

[3] (^-a)»-f-(î/-p)«-X(y« — 2/>a:) = (te + my + A)« en ayant soin d'isoler dans le second membre le carré parfait, ou

a;i + ( 1 — X)y« — 2(a — X/>)a: — 2py + a» + p» = (/a; -h my + A)».

Le premier membre n'ayant aucun terme en xy, dans le second membre on doit avoir lm = 0; mais on ne peut pas annuler le coefficient de x», puisque dans le premier membre ce coefficient est 1 ;

donc il faut que m = 0, donc y ne doit pas figurer dans Texpression ; par suite

et il reste

x^ — 2(* — p)x -H a* = (Le -h h)K

Pour que le premier membre soit un carré parfait, il faut que les racines de ce trinôme soient égales; donc

(a — p)« — a»=0 ou

-apx-f-p« = a=^

La parabole a donc un seul foyer à distance finie, dont les coordonnées sont

En remplaçant a par ^» le trinôme devient

X* -{- px -{- '-J cesl-à-dire

Par suite, Téquation de la directrice est

droite perpendiculaire à l'axe et dont le pied D est symétrique du foyer F par rapport au sommet.

409. Distances d'an point de la parabole au foyer et * la directrice. — Le carré de MF ayant pour expression

•=(.-iy.

ÉTDDE DES CONIQUES A L'AIDE DE LEURS ÉQUATIONS RÉDUITES. 309 lu valeur absolue de MF est

car nous avons supposé la courbe située du côté des x positifs (fig. 504).

La distance du point M à la directrice est dailleurs

MH=MQ-hQH, c'est-à-dire

MH = ar + ^.

Ainsi tout point de la parabole est equidiitant du foyer F et de la directrice DL.