Propriétés focales eommnnes avK Fig

trois coniqncs. — THÉORÈME I. — Si d'un point quelconque d'une directrice on mène à une conique deux tangentes, la corde de contact passe par le foyer correspondant. En effet, en prenant la directrice pour axe des y (fig. 305), nous avons vu (n^ I9t) que Téqualion de la courbe est Y

[1] (x — xY -h y* — e'o:» = 0.

Inéquation de la tangente à cette courbe en un point M(.r, y) est (n^ S9S)

c'est-à-dire f»ff 30ô.

X(,r — a ™ e^'x) 4- \y — [x(x — a) — e^x^ -|- y«l = et, comme le point M est sur la courbe, on a

yt gîjçS — ^j^ — yy

donc Téquation de la tangente en M se réduit à

\(x — a - e^x) -f- Yy — x{x — a) ^= 0.

L'abscisse du point P est nulle, soit y^ son ordonnée; la tangente passant par ce point, on a

condition que doivent remplir les coordonnées t, y de tout point de contact d'une tangente menée par le point P; c'est l'équation d'une droite, c'est donc l'équation de la droite des contacts. Si on y fait y = 0, on a pour l'abscisse du point où elle rencontre X'X

Cette corde passe donc par Je foyer F, quel que soit y^, c'esl-à-dire quel que soit le point P pris sur la directrice. Ce qu'on énonce en disant qu une directrice est la polaire du foyer correspondant ^ ou que chaque foyer est le pôle de sa directrice,

411. Théorème II. — La droite qui joint un point P de la directrice au foyer F est perpendiculaire à la corde de contact des tangentes menées du point P.

En effet, le coefficient angulaire de la corde de contact [2] est

inz

QL

et celui de la droite PF est

donc

yi

mm':

41». Théorème III. — Si une sécante coupe une même branche de conique en H et M', et une directrice au point K, la droite FK est bissectrice de Vangle extérieur au triangle FMM' (fig. 306).

En effet, abaissons sur la directrice les perpendiculaires MH et M'H'; d'après la définition du foyer et de la direclrice, on a

MF MH