KM KM
mais le point K est situé entre M et M', donc la droite FK est bissectrice de Tangle intérieur du triangle MFM'.
Fig. 507.
414. Corollaire. — Si d'un point K de la directrice on mène à une conique une tangente KT,
/\ l'angle KFT est droit. Car la tangente KT étant la limite de la sécante
KM'M (flg. 306), quand langle M'FM tend vers zéro, son supplément
M'FZ tend vers deux droits. On retrouve ainsi géométriquement les théorèmes I et U (n^"' 410, 4ii).
4iS. Problème I. — Construire une conique connaissant un foyer, la directrice con^espondante et un point de la courbe.
Soient F le foyer, DL la directrice et M le point donné (fig. 308). Traçons Taxe focal FD, le rayon vecteur FM, la perpendiculaire MH
lAVKkl, » COVri. DALG.
sur la direclrice et la droite HF; si on mène la bissectrice MI de
l'angle FMH, et la bissectrice MF de Fangle extérieur, les points I
et V satisfont à la condition
IF
IT
MF MH*
Fig. 308.
Projetons les points I et Y sur l'axe focal en A et A', on aura de même
AF AT MF AD""A'i)""MH"
Donc A et A' sont sur la courbe : ce sont deux sommets.
On en déduit l'autre foyer F' en prenant A'F' = AF, puis la deuxième
directrice D'L'.
MF* La conique est donc déterminée, lexcentricité e = |j^-
Remarque. — Si MF<MI1, les points A et A' sont du même côté de la directrice, la courbe est une ellipse; si MF>MH, la construction précédente est disposée comme dans la figure 309 : les points A et A' sont de part et d'autre de la directrice, la courbe est une
hyperbole; enfin si MF = MH, les points r et A' s'éloignent indéfiniment, la courbe est une parabole.
4I«. Problèoie de Kepler. —
Construire une conique, connaissant
un foyer et trois points.
- — Soient les trois points A, B, C et
le foyer F. Considérons les trois
I I triangles FAB, FBC, FCA; traçons
Fig. 3oa. dans chacun d'eux les bissectrices
de Fangle intérieur et de l'angle
extérieur F; soient Fa et Fa', F? et Fp', Fy et Fy' ces bissectrices
(fig. 510).
i*> D'après le théorème 111, si les trois points A, B, C sont sur une même branche de conique, les points a', p', y' appartiennent à la direclrice conjuguée au foyer F ; ces trois points sont donc en ligne droite et donnent une première directrice Ô,.
2<» D'après le théorème IV, si A et B sont sur une branche d'hyperbole et G sur l'autre branche, les points y'* ^ et a sont en ligne droite et donnent une deuxième solution .: D, est directrice de Thyperbole.
3<^ De même, si A et C sont sur une branche et B sur Tautre , c'est la droite p', Yi a ou D3 qui est directrice.
4» Enfin, si C et B sont sur une branche et A sur l'autre, les points a', p, Y sont une droite D4 qui est directrice.
11 y a donc quatre coniques répondant à la question, dont trois au moins sont des hyperboles; la première, dont la directrice est D^, peut être une conique de genre quelconque ; suivant que le rapport
AF
jrr est inférieur, égal ou supérieur à \ . c'est une ellipse, une parabole ou une hyperbole.
41V. Propriété de la tangente A l*elllpse et des rayons veeteurs du point de eontaet. — Théorèhe. — La tangente en un point M (Vime ellipse est bissectrice de langle en M extérieur au triangle MFF'.
Cette proposition, qu'on démontre en géométrie élémentaire, peut être établie analytiquement de la manière suivante :
Pour prouver l'égalité des angles GMT, F'MT, il suffit de prouver
que les angles G'MT et GMT sont supplémentaires.
Menons par le centre de l'ellipse, origine des coordonnées, les lignes 0^', 0<p et Oô respectivement parallèles à F'M, FM et MJ; la question
revient à démontrer que les angles (p'Oô el (pO& sont supplémentaires
Fip. no.
Soit m' le coefficient angulaire de MF', m celui de HF, et (jl celui de MT.
On a pour calculer ces angles (n^ tse) les formules :
tang (p'06 :
[L — m i -+- [Lin'
et
X Or, X et y étant les coordonnées de M,
Fig. 311.
donc
lang (p'06
^ a}y x-^c h^x (x-hc)-^ a^y*
b*xy
a*y(x-^c) Or le point M est sur Tellipse dont Tèquation est
D'ailleurs par suite
tang o'06 = ) ^ =
° ^ cy (ex 4- a*) cy
Le coefficient angulaire m de FM ne diffère de m' que par le changement de c en — c, donc
tang ^06 = 4-ce qui démontre le théorème.
