Tangente A lliyperlnkle. — TuÉORÈii?:. — La tangente en

ÉTUDE DES COîilQUES A L'AIDE DE LEURS ÉQUATIONS RÉDUITES. 405

un point M d'une liypei^bole at bissectrice de l angle intérieur du triangle FMF (fig. 312).

Si on mène par Torigine les droites O^p', Oô, Oç respectivement parallèles à MF, MT, MF, il faut démontrer que

Or

lang{p'OÔ = tang90ô.

lang<p'06 = j^

fi — m

Or le coefficient angulaire de la tangente à Thyperbole est

d'ailleurs

Fig. 312.

ar — c

Les expressions de j

■ p-m' 1 -H H^wi qu'on a trouvées pour Tellipse que par le changement de J» en — t"; par suite

langçW = + -

ne diffèrent donc de celles

el

tang(pOô = -+- —

Fig. 313.

donc les angles <p'06 et <pOô sont égaux.

419. Propriété de la Umsente ù la parabole. — Théorème. — La tangente

MT à une parabole est bissectrice de C angle formé par le prolongement du rayon vecteur FM et la parallèle MX^ menée à Vaxe par le point M.

L'équation de la parabole est

«ee GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE,

celle de la tangente en M est {n^ MS)

Yî,=|,(X + T).

son coefficient angulaire

celui de MF

Donc si on trace 06 parallèle à MT et Oç parallèle à FM (fig. 513) : !• langXO0 = |jL=^

2* tangô09 = -j

i^ m — |JL z

et comme i/ = ipx,

tang ôOîp :

donc tang X06 = tang 60(p, et par suite XiMT = TMG.

Le triangle T'MF est donc isocèle : de là une construction de la tangente en H, connaissant le foyer F et Taxe FX.

4tO. Problèmes relatifs ù la eonslrnctlon de la tangeote. —

Nous renverrons aux traités de géométrie élémentaire pour la solution de ces problèmes, solutions qui résultent toutes du théorème que nous venons de démontrer pour les différentes coniques.

4tl. Projeetlons des foyers sur les tangentes. — ThÉORÈUE. — Le lieu des projections des foyers d'une ellipse ou d'une hyperbole sur les tangentes est le cercle déci'it sur l'axe focal comme dia mètre*

En effet, soit une ellipse ; prenons l*équation d'une tangente parallèle à une direction donnée (n^ soi)

[1] y = mx-h\/a^m*-^-b*

celle de la perpendiculaire abaissée d*un foyer F sur cette droite est

Éliminons m entre ces deux, équations, nous aurons l'équation du lieu de T intersection de ces droites. Pour cela écrivons les équations [1] et [2] sous la forme

[1] y — mx = v/a'w* H- 6*

[2] my-\-x = c

et faisons la somme de leurs carrés, nous obtenons

(1 -h m*) (x^ -+- y*) = a^m} -h t» -h c* ou

ou en divisant par m' -4- i

x^-hy^ = a*.

C'est la circonférence qui a pour diamètre Taxe A A' de l'ellipse; si on change c en — c, le résultat est le même, puisqu'on élève les équations au carré.

2® Pour l'hyperbole, on partira de l'équation de la tangente, qui est

y — mx = sja^w} — 6*

et comme c* — 6' = a', le même calcul conduit au même résultat.

4t9. Iile« des projections da foyer d*iiiie parabole sar les («Bffentes* — Théorèhe. — Ce lieu est la tangente au sommet.

En effet, la tangente menée à la parabole parallèlement à une direction donnée a pour équation (n« Z09)

[il » = ''*^-^£

celle de la perpendiculaire menée à cette droite par le foyer est Écrivons ces équations

et retranchons membre â membre, il vient

- = d'où x = 0.

4tS« Produit des distanees des foyers A «ne tangente. —

Théorème. — Ce produit est constant et égal à b* pour VeUipse^ à — b' pour r hyperbole.

En effet, 1 équation d'une tangente à Tellipse étant

y = mx-h\/a*m*-^b^ ou mx — y-h\/a*m*-\-b*^=0 les distances des foyers F et F' à cette droite sont (n<> t60)

FH — wc -h \/a»m* -f- b* «,„, __ — mc-^ \/a^m} -+- b^

donc

FH X F'H' = (v^^'^* -4- 6» -4- me) (\/a«m» -<- ^« — me)

m' H- 1 ou

FH X PH' == "''"' -^/' 7 "'^' = ^'^":' ^/^ = fc. m' + 1 m' -h 1

Et pour rhyperbole, le môrtie calcul, en changeant fc* en — t*, donne

FHxF'H' = — fc«

C'est qu'en effet les deux foyers d'une ellipse sont toujours du môme côté de la tangente, ceux d'une hyperbole sont toujours de part et d'autre de cette droite.

ÉTUDE DES CONIQUES A L'AIDE DE LEURS ÉQUATIONS RÉDUITES. 400 4t4. Paraméire d'ane conlqae. — Si par Un foyer d*une COni-

que on mène la corde CC perpendiculaire à l*axe focal, la longueur de la moitié de cette corde est appelée le paramètre de la courbe.

Ainsi dans la parabole si on fait j:=-|. abscisse du foyer, Téquation if = ^px donne pour l'ordonnée correspondante tf =. p^ donc FC = p

Dans une ellipse, pour x=^±:c on a

doù

w» a* — c* b* , fc>

?r := ■ — ^ — « = rfc —

Dans une hyperbole on a de même pour a:=z±e ou

h = ; — =-; dou v = iii —

lit y.S yyS •' r.

FC = — est \e paramètre, que nous désignerons encore par/> (fig. 314).

4t5. Équation commaae aax trois courbes, rapportées A Taxe foeal et A la taagente an sommet*

i° Soit une ellipse rapportée d'abord à ses axes, transportons Torigine au sommet de gauche, Féquation

devient

ou

ou

et en posant

— =r=W doU -- = -W

2<> Soit une hyperbole; transportons Torigine au sommet de droite, il faut remplacer x par X 4- a» et l'équation devient

ou

ou

qui donne, en désignant — par j9,

Y« = 2iA4-^X« ' a

S"* On sait que la parabole rapportée à son axe et à la tangente au sommet a pour équation

On voit qu*en général si une conique est rapportée à Taxe focal et à la tangente en un sommet, la concavité de la courbe dans le voisinage de ce sommet étant dirigée dans le sens des x positifs, Téqualion de la courbe est

Suivant que X < 0, X > 0, X = 0, la courbe est une ellipse, une hyperbole ou une parabole.

4t«» Théorème. — Si le paramètre d'une conique reste fini y quand la longueur de Vaxe focal augmente indéfiniment, Varc de courbe dans le voisinage du sommet A a pour limite un arc de parabole.

En effet, si dans Téquation

y« = 2pxz!i?x«

on fait croître a indéfiniment, p restant fini, - tend vers zéro et à la

limite Téquation se réduit à

Remarque. — On peut aussi supposer que la distance AF reste constante, tandis que a croît indéfiniment.

Ainsi soit une ellipse,

AF=a — c pz=-'=z =ri — , i i

Posons

a — c = J d*où c=:^a — d,

alors

L*équation de la courbe devient

qui à la limite, quand a = », se réduit à

y^ = idx.

On peut ainsi déduire certaines propriétés de la parabole de celles de Tellipse.

497. Déterminatioii des foyers d*iuie eoiilqne rapportée A des axes rcetan^alalres quelconques. — EXEMPLE. — Soit Téquation

[1] 2xy = a\

Cette équation représente une hyperbole équilatère, dont les axes des coordonnées sont les asymptotes.

En identifiant cette équation avec Féquation focale

[2] (x-^<iy-h(y-'Py — (lx^my-^hy=0

on a ridentité

[3] (r — a)« + (y — p)* — 2)n:y-+-Xa« = (te-+-my-hA)»

Ordonnons le premier membre par rapport à x,

x^ — (2a -h 2Xy)x -h a« H- (y — p)» -4- Xa« = {/x -^- mi/ -f- A)*.

Ce trinôme du 2« degré par rapport à x devant être identique à un carré parfait, il faut que ses racines soient égales; donc

(a-4-Xy)*-a«-(i/-p)«-Xa« =

ou, en ordonnant par rapport à y,

(X« — 1 )y« -H 2(Xa -4- p)y — p« — Xa* = 0.

Cette identité devant avoir lieu quel que soit y, il en résulte les conditions