IV Théorème d'Apollonlas. — Laire du parallélogramme

construit sur deux diamètres conjugués d'une ellipse ou d'une hyperbole est constante.

En effet, ce parallélogramme a pour côtés les tangentes en D et D' (fig. 551). Prolongeons la tangente MD jusqu^à la rencontre de OX au point T, et traçons D'K parallèle à OX, les parallélogrammes ODMD' et OTKD' sont équivalents. L'aire de ce dernier est égale à OTxDH.

Or, ary étant les coordonnées du point D, x"y'* celles du point D', l'équation de la tangente en D est

^.^ = 1 dou OT = p

d'autre part une des formules de Chasles donne (n<^ 449)

ht'

Donc

S = OTxD'H = -'x — = afc.

459. Béelproqne. — Si Vaire du parallélogramme construit sur deux demi-diamètres OD, OD^ équivaut à celle du rectangle construit sur les demi-axes, les deux diamètres sont conjugués, — Car en traçant le conjugué de OD, soit OD', le parallélogramme construit sur OD et OD' équivaut à ab d'après le théorème direct ; il équivaut donc au parallélogramme construit sur OD et 0D| ; donc, ayant même base, il doit avoir aussi même hauteur : donc OD^ coïncide avec OD', puisque la droite D'M tangente à l'ellipse en D' ne peut rencontrer la courbe en un autre point.

4SS. Remarque. — Ces deux théorèmes peuvent aussi être établis facilement pour l'ellipse considérée comme projection d'un cercle dont le diamètre est AA'.

Ainsi, le parallélogramme ODMD' étant la projection du carrè construit sur deux rayons rectangulaires du cercle est égal au produit de a* par cos 0, et comme cos 6 = -« on a bien

Sz=a»x-=ot.

De même l'étude de la figure 550 donne une démonstration géométrique du théorème I.

4M. Cordes supplémentaires. — On appelle cordes supplémentaires deux cordes MD, MD', qui joignent un môme point M de la courbe, ellipse ou hyperbole, aux deux extrémités d'un diamètre quelconque.

4S5. Théorème. — Detix cordes supplémentaires sont respectivement parallèles à deux diamètres conjugués.

En effet, si on mène OC parallèle à MD' et OC parallèle à MD, OC passe par le milieu de la corde MD et OC par le milieu de MD' ; ces diamètres sont donc conjugués (fig. 332).

Donc le produit des coefficients angulaires de deux cordes suppléât 1,1 menlaires est égal à j dans Tellipse et à H- -, dans l'hyperbole.

Analytiquement, on a, pour la corde MD,

et pour la corde MD'

donc

mm'

Mais les points M et D étant sur l'ellipse, on a

donc

„ ,. __. . nii

mm' ^ 1

ft«

Réciproquement, st deux corde* menées par un point H de

la courbe sont parallèles à deux diamètres conjugués, leurs extrémités D et D' sont diamétralement opposées. Car, MD et MD' étant parallèles à deux diamètres conjugués, le produit de leurs coefficients angulaires

h' mm' = ;

et si on appelle m, le coefficient angulaire de la corde supplémentaire de MD, ou a aussi

mmx = r donc m'^=^m..

On voit de même que, si les deux cordes partent des deux extrémités d*un même diamètre, elles concourent sur la courbe.

4«. Remarque. — Deux cordes supplémentaires d une ellipse sont les projections de deux cordes rectangulaires menées par un même point de la circonférence dont Tellipse est la projection.

458. Problèmes. — Une ellipse (ou une hyperbole) étant tracée : i^ Trouver le centre. 2*» Mener la tangente en un point M. 5* Tracer lês tangentes parallèles à une direction donnée. \^ Consti^ire les axes. 5° Tracer deux diamètres conjugués faisant entre eux un angle donné V.

i" Traçons deux cordes parallèles CC, C^C'^ ; la droite qui passe par les milieux I, I| de ces cordes est un diamètre DD' et le milieu de

DD' est le centre.

!2<» Soit M un point de Teilipse ; ^j. en menant une corde D'P parallèle

V^<Dk^"'k'' — ^^VsA ^ ^^* ^^ corde PD est conjuguée

i au diamètre OM, donc parallèle /'Vjv à la tangente en M; celle-ci est

'<C' ^ \ ^^^ïSA/X ^^"^ ^^^' parallèle à PD.

5° Soit Z'Z une direction donnée, traçons la corde DP paral- Z' lèle à OZ ; DT est la direction du

Fig 333 diamètre conjugué aux tangentes

cherchées ; donc en traçant M'OM parallèle à DT on a les points de contact (flg. 353).

4° Soit DE un diamètre quelconque; la circonférence qui a DE pour diamètre coupe Tellipse en H et les cordes rectangulaires

MD, ME sont parallèles aux axes; on a ainsi AA' et BB' (fig. 554).

5<» Si on trace sur la droite DE Tare de cercle capable de l*angle donné Y ou de son supplément, cette circonférence peut couper l'ellipse en deux autres points M et M'; les cordes ME, MD sont supplémentaires et font entre elles Tanglc V; il en est de même des cordes M'D et M'E (fig. 555).

On peut donc tracer deux systèmes de diamètres conjugués AA', AjA'i faisant entre eux Tangle V, pourvu que cet angle donné soit compris entre le minimum Y, et son supplément; c'est à-dire que tang V

doit être inférieure à ou supé-

rieure à -î -*

S'il s'agit d'une hyperbole, le problème est toujours possible quel que soit V.

Fig. 53i.

Fig. 355.

459. TiiÉonÈHE. — Si on mène à une ellipse une tangente quelconque, la longueur du demi-diamètre CD parallèle à cette tangente est moyenne proportionnelle entre les deux segments MT, MT' interceptes entre le point de contact et les deux axes (fig. 556).

En effet, soient xy les coordonnées du point M, ar'y' celles du point D. On a

ÔS' = b'^ = x'^-hy''

Mais

donc

Fig. 536.

OU, en tenant compte de ce que le point M est sur l'ellipse et exprimant y* en fonction de x',

L'équation de la tangente en M étant

on en déduit

Donc et

MT'' = (y. - y)' + ^* = (^* - y y + :c'

ou, en exprimant y^ en fonction de:r' et réduisant,

donc

X rr=^> (g* — a;«)arVa* — c«j:«)> / a* — c'x' y

MTxMT' = a» — ^==i"

4eo. Problème. — Connaiisant deux diamètres conjugués d'une ellipse, construire ^ les directions et les longueurs ^Z des deux axes.

1« Soient OM et OD les demi-diamètres donnés, la parallèle l'I menée par H à OD est la tangente en M; si on porte sur la perpendiculaire en M à Z'Z les longueurs MH = MH' = OD, d'après le théorème précédent MH est moyenne proportionnelle entre HT et HT^; donc

la circonférence décrite sur TV comme diamètre passe en H et en Wy elle passe aussi par le point ; donc on en connaît trois points 0, H, H'; on peut donc tracer cette circonférence et déterminer les points T et T'. On a ainsi les directions des axes (fig. 557). 2® On sait que

OTxOP = a* OTxOQ = b'

Une construction élémentaire donne donc les longueurs a et b.

46 1. Équation de l*eUip«e ou de l'hyperbole rapportée h deux diamètres eonjagnés. — Si, au lieu des axes de symétrie de la courbe, on prend pour axes de coordonnées deux diamètres conjugués, toute corde MM', NN', PP', QQ' parallèle à l'un d'eux étant divisée par l'autre en deux parties égales, chacune des variables x et y ne peut figurer qu'au carré dans l'équation; celle-ci est donc de la forme

et en posant H ,.

elle devient

Fip. 338.

a' et 6' étant les longueurs des demi-diamètros conjugués dont il s'agit.

L'usage de cette équation en coordonnées obliques, de mémo forme que l'équation en coordonnées rectangulaires, simplifie certaines démonstrations, par exemple celle du théorème précédent (n» nB).

UUXAT. — COMPL. D ALO.

GÉOMÉTRIE AîiALYTIQUE.

g lY. — PROPRIÉTÉS DE YPERBOLE ET DE SES ASYMPTOTES

Théorème I. — Deux hyperboles conjuguées et le système de leurs asymptotes admettent le même diamètre pour une même direction de cordes.

En eiîet, pour chacune de ces coniques, Téquation est

le terme X valant -h 1, — 1, ou 0, et Téquation du diamètre conjugué aux cordes dont le coefficient angulaire est m est indépendante de X :

Fig. 359.

Le même point I est donc le milieu des trois cordes CC, EE', GG'

(fig. 359).

Théorème II. — Les segments compris sur une sécante entre une hyperbole et ses asymptotes sont égaux.

Car des égalités IE = IE' et IC = IC' il résulte que CE = C'E', et de même GE = G'E'.

464. Théorème III. — Les segments interceptés sur une tangente entre le point de contact et les asymptotes sont égaux.

Car le diamètre OM mené au point de contact est conjugué à la direction de la tangente (n® 44S) ; donc il divise T'T en deux parties

égales.

4«s. Théorème IV. — Les diagonales du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués quelconques coïncident avec les asymptotes.

En effet, soient DD', EE' deux diamètres conjugués. Si on les

prend pour axes de coordonnées, la nouvelle équation de la courbe prend la forme

a' est le demi-diamètre transverse et b' celui de l'hyperbole conjuguée (n« 4«i), et l'équation des asymptotes devient

Si donc dans celle-ci on fait x = a\ on ay = ài b\

Donc DM = OE, DM' = OE'; les asymptotes sont donc bien diagonales des parallélogrammes construits sur DD' et EE' (fig. 340).

Ces équations [i] et [2] de l'hyperbole et de ses asymptotes rapportées à deux diamètres conjugués donnent aussi une démonstration immédiate des théorèmes précédents.

MS» Théorème V. — Le produit des segments d'une sécante compris entre un point M de V hyperbole et les deux asymptotes est égal au carré du demi-diamètre parallèle à la sécante.

En effet, prenons pour axes de coordonnées le diamètre parallèle à la sécante et son conjugué (fig. 341 ) .

L'équation de l'hyperbole

Fig. 310.

donne

Il u 4

ÏM=

l'équation des asymptotes

Fig. 341.

donne

d'où l'on tire

GÉOMÉTRIE ANALYTIQCE.

ÎP — ÎM* = fr'*

(ÏP4-1M)(IP — IM) = i'^

(IQ -f- IM) MP = 6'* MQ X MP = 6".

4«V. Problème I. — Constralrc urne hyperbole couMiIsMiiit les

asymptotes et ob point. —

D'après le théorème II, si par M on trace des sécantes quelconques CMC, EME', MGG' en y prenant les longueurs CM' = CM, E'M'' = E>f, G'M"' = GM, les points M', M", M'" sont des points de riiyperbole (fig. 542).

4MI8. Problème II. — Tr«eer la taoi^eiite en M. — Il faut mener par M une droite dont le point M soit le milieu ; pour cela

traçons HH parallèle OL et prenons HT = OH, puis traçons TM;

on a bienMT = MT'.

Fig. 5i2.

Problème III. — Construire le diamètre eonjvi^vé de OSL

— Il suffit de tracer la ligne OD parallèle à TT', et en achevant le parallélogramme qui a pour côté TT' et dont les autres côtés sont

parallèles à OM, on a la Ion-

lY' Fi?. 513.

cordes qui sont perpendiculaires aux axes; on sait que

gueurDD'du diamèlrecherché.

4YO. Problème IV. — On donne le« asymptotes et nn point I construire les directions et les lon gnen r s

des axes. — Les axcs OX, OY sont dirigés suivant les bissectrices des angles des asymptotes ; traçons en outre par le point donné M les

MPxMF = ft«

HQxMQ' = a«.

On a donc a et 6 par la construction d'une moyenne proportionnelle (fig. 543); ainsi 6 = MB.

491. Problème V. — On donne deux diamètres eonjaf^nés trouver les axes. — On construit le parallélogramme qui a pour côtés DD' et EE'; ses diagonales (n? 4«5) sont les asymptotes de l'hyperbole, et si DD' est le diamètre transverse, D est un point de la courbe ; on est donc ramené au problème précédent (fig. 344).

49t. Êqnatlon de l'hjper- Fig. 3U.

bole rapportée it ses asymptotes. — Le centre coïncidant avec l'origine, 1 équation ne doit avoir aucun terme du 1" degré; d'ailleurs on sait que si une asymptote est parallèle à X'X, le terme en x^ manque; l'autre asymptote étant parallèle à OY, le terme en y^

manque aussi; donc l'équation ^

se réduit à — --^ ^ P X

xij = K.

Suivant que K > ou K < 0, ng. 545.

la courbe est dans l'angle XOY ou

dans l'angle X'OY. Celte équation exprime que l'aire du parallélogramme OPQM est constante, puisque cette aire a pour expression xysinô (fig. 545).