V. — PROPRIÉTÉS DE U PARABOLE

Nous savons que la parabole n'a pas d'asymptote et que ses diamètres sont tous parallèles; par suite elle n'a pas de diamètres conjugués.

4yS« C>oii«traetloa d*«ae parabole dont B« et le paramétre. — L'équation

on donne l'axe, le

montre que Tordonnée est moyenne proportionnelle entre la longueur constante 2p et Fabscisse OH du point H ; on a donc autant de points qu'on veut de la courbe en portant la long:ueur OP = 2p à gauche du point 0, prenant des abscisses OH , OH', OH" et traçant les circonférences dont les diamètres sont PH, PH', PH^ OB, OB', OB' sont les ordonnées correspondantes, qu'on reporte suivant HM, HM', HM' (fig. 346).

4V4. Conséqnenee de la propriété de la «ona-tan^ente. —

L*équation de la tangente en H est

Pour Y = on a

L'abscisse du pied de la tangente en M est donc toujours égale et de signe contraire à celle du point M, quel que soit le paramètre de la parabole.

i® Si donc on trace différentes paraboles ayant môme axe OX et même sommet, les tangentes en tous les points qui ont une abscisse donnée OH concourent au même point T sur l'axe (flg. 347).

2^ Si on donne Taxe, le sommet et un point de la parabole, on a la tangente en M en prenant OT = OH et traçant TM.

41 s • Uen des «onumels des angles droit* elreonserlto A la

parmbole. — L*équation de la tangente parallèle à une direction donnée est (n<» SOS)

Sl;elle passe par un point donné (X,Y), on a entre m, X, Y la relation

2Xm» — 2Ym-|-p = 0.

dont lés racines m\ m" sont les coefficients angulaires des tangentes menées par ce point. Pour qu'elles soient rectangulaires, il faut donc que

telle est Téquation du lieu demandé; on voit que c'est la directrice. 496. La «ouft-nomuile est constante et égale an paramètre.

— Car, le coefficient angulaire de la tangente en M étant -* celui de

la normale est — - et Téquation de la normale en M est

Si Ton y fait Y = 0, on a

X — a: = p ou

ON — 0H=p=:20F.

Connaissant l'axe, le sommet et un point H, la parabole est donc déterminée, et on peut ensuite en construire autant de points que l'on veut (fig. 547).

4VV« Êqnatlon dn diamètre conjugné èl nne direction donnée de eordes. — En désignant par m le coefficient angulaire d'un système de cordes, l'équation du diamètre est

/•/-f-m/;' = ou — ;;-hmy=0 ou y = ^

On vérifie ainsi que tous les diamètres sont parallèles à Taxe, et si m tend vers zéro, le diamètre s*éloigne indéfiniment de Taxe.

Réciproquement, toute parallèle à Taxe est un diamètre; car, étant donnée Téquation

en posant -^ = X on en déduit m =^» et comme le coefficient angulaire m d'une corde peut croître do — « à -f- <», cette valeur de m est toujours acceptable.

478. La tangente ù, l'extrémité d'un diamètre est parallèle aux eordes eonjni^née*. — Soit eu eiTet A (x, y) le point de rencontre d*un diamètre et de la courbe, l'ordonnée y du point Â est

égale à ^9 et le coefficient angulaire de la tangente en A est (i= -;

donc a = m. *

499. Équation d*ane parabole rapportée A nn dlantétre et A la tangente conjngnée. — Si Ton prend pour axe des x un diamètre AX^ et pour axe des y la tangente en A (fig. 548), toutes les cordes MM', NN' parallèles à la tangente ayant leur milieu sur AX^, les valeurs réelles de y qui correspondent à une même abscisse AP doivent être égales et de signes contraires. La variable y ne doit donc figurer qu'au carré dans réquation ; cette équation ne contient alors ni terme en y ni terme en xy; elle n*a pas non plus de terme en x^, par Fig. 248. suite de la condition B* — AC=0, ni de

terme constant, puisque Torigine est sur

la courbe. Celte équation en coordonnées obliques se réduit donc

à la forme

p' étant le paramètre auxiliaire correspondant au diamètre donné AX|.

480. Théorème I. — Le paramètre auriliaire p' est égal à la distance entre le pied de la tangente et le pied de la normale menées en A, sur Vaxe de la parabole.

En effet, soient a -et b les coordonnées du point A par rapport à Taxe et à la tangente au sommet, on a b* = ipa; menons OP' parallèle à AT (fig. 349), on sait (n« 4»4) que

AP'=:OT = OP = a et OF = AT =i= s/Aa' -+-*» = v/iia(5ia -+- jp).

Mais les coordonnées du point Y

par rapport aux axes obliques AX| et AYj sont

Xi = AP' et y^z= — f'0

donc, en vertu de l'équation [i],

FÔ' = 2/>'xAP' ou

ip' = ^.^i2^±Pl=.2(2a+p)

Fig. 319.

mais la sous-tangente PT = 2a, et la sous-norraale PN=/>; donc j3'=Ti\.

481. Expression de/?' en foneUon du paramétre p et de raii^le formé par le diamètre AX^ et la tangente en A. — Soit 6 cct angle, les triangles ANT, APN donnent

donc ou

[ AN = TNsin6 = p'sinô

} p = AN sin 6

;j=y sin'O ^ sin*ô

48t. Théorème II. — Le paramètre auxiliaire p' con^espondant à tin diamètre AXi est égal au double de la distance du foyer au point A. — En effet.

p' = 2aH-/> = 2(a-h|)

et Ton sait (n® 4a*) que le rayon vecteur FA est égal à «H- s-

4SS« Problème. — Construire une parabole connaissant un diatnèlrey la tangente conjuguée et un deuxième point de la courbe. — Soient AD un diamètre, AT la tangente en A et H un deuxième point de la parabole. Si on trace Tordonnée MH parallèle à la tangente en A, on a (fig. 350)

Mil*

MH'=:2/)'xAH

l\li

Prenons HB=2AH, élevons la perpendiculaire Hi\i'=HH, puis M'G perpendiculaire à BM'; on a ainsi />' = HG. Traçons GK perpendiculaire à HM, KP perpendiculaire à AD :

KG=/>'sinO PG = KGsinÔ

donc

^ * ^::::\^//i,',^^ ^ ^^^ l PG=ysin«e=/>.

p' = ia-\'p donc

Fig. 350.

HP = 2a

et comme i* = 2a.;>, il en résulte que fc = PK.

Donc, en prenant AI = KP et traçant par le point I la parallèle à AD, cette droite IX est l'axe de la parabole, le milieu de IT en est le sommet. Et comme on a le paramètre p, la parabole est déterminée; d'ailleurs, en faisant l'angle TAK==8, on obtient en F le foyer, puis prenant OE = OF on a la directrice EL.

4M. Remarque. — L'équation de la parabole y' = ^p'x rapportée en coordonnées obliques à un diamètre et à la tangente conjuguée étant de même forme que celle de cette même courbe rapportée à son axe et à la tangente au sommet, il en résulte que l'équation de la tangente en un point H conserve aussi la même forme dans ce système de coordonnées

par suite la propriété de la sous-tangente subsiste.

Fig. 551.

485. TnéoRÈME III. — Les tangentes menées aux deux extrémités d'une corde rencontrent au même point le diamètre de cette coi'de. — Car les points M et M' ayant même abscisse, la sous-tangente a même longueur pour l'un et l'autre point et l'extrémité A du diamètre AD est le milieu de TP (fig..35i).

486. Problême. — Construire par points un arc de parabole connaissa7it deux tangentes et les points de contact, — Soient TM et TM'; on prend le milieu P de MM', la droite TP est le diamètre de la corde MM', le milieu A de TP est un point de la parabole et la tangente en A est parallèle à MM', soit QR. Les droites QA et QM, RA et RM' étant des tangentes, la même construction s'applique de nouveau et donne des points D et G de la courbe et les tangentes en ces points, et ainsi de suite.

On raccorde ainsi deux droites EM, E'M' par un arc de parabole, par exemple pour la bordure d'un trottoir à Tangle de deux Sr

rues.

489. Sections planes d*an eône de révolntlon. — Soit a l'angle que fait une génératrice quelconque avec l'axe, V'SV le contour apparent du cône ; coupons cette surface par un plan perpendiculaire au plan de la figure, la position du plan sécant est déterminée par la distance SA = rf et par la trace AX de ce plan sur le plan de la figure,

soit ô l'angle SAX (fig. 352).

Cherchons l'équation de la section plane ainsi faite ; prenons pour axe des y la droite AY perpendiculaire en A au plan de la figure. Soit M un point de la courbe, son ordonnée MP perpendiculaire à AX ; traçons par le point P la droite CD perpendiculaire à l'axe du

cône ; le plan HCD coupe le cône suivant un cercle dont CD est le diamètre; par suite

y* = PCxPD

Le triangle APC donne

PC AP PC X ,, . or ^sinO

ou -: — r = d OU FL =

• rCn • iC^ sin ô cos a cos a

sin CAP sm PCA

D'autre part, en traçant AA' parallèle à CD, et PS' parallèle à DS, on a