AH X
Or
et dans APIi
donc
sinAPH sinAHP
sin APH = sin S'PX = sin (ô -f- 2a)
sin AHP = sin AHS' = sin A' = cos a
. „ X sin (6 -f- 2a) AU =
cos a
L'équation de la courbe est donc
.rsin(6 -h2x)>
X sin 6 / •^ cosa \
2(/ sin a •
cos a /
ou
« 1 . • ft sin sin (ô -*- 2a) ,
î/> r= M tang a sin ô.x ; -x^
^ ® cos* a
équation du 2^ degré représentant une courbe rapportée à son axe et à la tangente au sommet (n* 4ts) de la forme y^=iipx-\-'kx'^,
488. DioenssioB. — Par construction on a 0<0<ic, donc sin ô > ; cos* a > 0, donc le signe du coefficient de x^ dépend uniquement du facteur sin (ô + 2qc).
Or 6 4- 2» est inférieur à 27r, donc
i° Si Ô-+-2a<ic ou 0<ô<7c— 2», sin(0-|-2a)>0 X<0
ÉTUDE DES CONIQUES A L'AIDE DE LEURS ÉQUATIONS RÉDUITES. 445 Ainsi la section est une ellipse quand ÂX est dans l*angle SAZ. S'» Si Ô-f-2a>7c ou TT— 2a<Ô<2ic, sin(e-f-2ct)<0 X>0
Donc la section est une hyperbole quand AX est dans l'angle VAZ.
5<» Si0-h2a=':c OU 6=7r— 2a, sin(e-H2a)=0 X=:0
La section est une parabole quand AX coïncide avec AZ, parallèle à SV.
4® Si sin 6 = 0, c'est-à-dire 6 = ou 8 == ir, on a encore X = ; la courbe est du genre parabole, mais Téquation se réduit à ^' = 0, droite double, variété de parabole ; le plan YAX devient alors tangent le long de SA.
D'ailleurs, en formant le discriminant A = rf* tang* a sin* ô, on voit que A = soit quand sin 6 = 0, soit encore quand (1 = 0; alors le plan sécant passe par le sommet.
De là le nom de conique donné à toute section plane d'un cône de révolution, qui est toujours une courbe du 2® degré proprement dite ou une variété.
Remarque. — Nous renvoyons le lecteur à la démonstration de Dandelin qui établit géométriquement ces différents résultats.
EXERCICES ET PRODLÈMES
\ . Trouver les foyers et les directrices de la courbe dont l'équation est
2xj^ — 2flx — 2fly 4- a« = 0.
2. Écrire Téquation générale des coniques qui ont pour foyer l'origine des coordonnées, pour axe focal la bissectrice de l'angle XOY, la directrice correspondante étant à la distance d de Torigine.
5. On donne deux points F et F', l'un sur OX, l'autre sur OY, équidistanls du point 0; trouver l'équation générale des coniques dont F et F' sont les foyers. — Discussion. — Cas où l'excentricité se réduit à 1, à v/2. — Cas où la courbe passe par le point 0. Construire les directrices.
4. Écrire l'équation générale des coniques qui ont les mêmes foyers qu'une ellipse donnée. Montrer que si une ellipse et une hyperbole sont homofocales, elles se coupent orthogonalemeiit.
