On donne Téquation
{y - mx)* -2h (^x + my + ^^ = Q.
Quelle est la courbe? Trouver son axe, le foyer, la directrice, la tangente au sommet. *
6. Du centre d'une ellipse (ou d'une hyperbole) on mène la perpendiculaire à une tangente. Lieu des points d'intersection de cette perpendiculaire et des rayons vecteurs du point de contact quand celui-ci parcourt la courbe.
7. Lieu des foyers des paraboles tangentes en M à une droite donnée D, et tangentes à une autre droite donnée D'.
8. Construire la parabole qui est tangente à la droite D en M et à la droite D' en M'. Trouver le foyer, la directrice.
9. Lieu des projections H et H' des points M et M' sur la directrice quand le foyer F parcourt son lieu géométrique (suite des problèmes 7 et 8).
10. Lieu des foyers des paraboles tangentes en à OX, et ayant une directrice parallèle à une droite donnée.
11. Lieu des foyers des paraboles ayant une directrice donnée D, et passant par un point donné A.
12. Lieu des sommets des hyperboles qui ont une asymptote et un foyer donnés.
13. Lieu des foyers des paraboles ayant une directrice donnée OD et tangentes à une autre droite donnée OT.
14. Lieu des sommets des paraboles qui ont un foyer donné, et sont tangentes à une droite donnée.
15. Lieu des sommets des paraboles qui ont un foyer donné et passent par un point donné (limaçon de Pascal).
16. On mène dans une conique un rayon vecteur FM, la tangente en M et la perpendiculaire en F à FM. Lieu du point de rencontre de ces deux dernières droites.
17. On mène un diamètre quelconque et du foyer F la perpendiculaire aux cordes conjuguées à ce diamètre. Lieu du point de rencontre de cette perpendiculaire et du diamètre.
18. Dans une ellipse ou une hyperbole on marque deux points quelconques H, M' et l'on trace les rayons vecteurs FM, FM', ¥% F'M'. 1» Prouver que ces quatre droites sont tangentes à une même circonférence. 2* Calculer le rayon r de cette circonférence. 5* Trouver le lieu du centre w de cette circonférence, quand son rayon r reste constant.
19. Lieu des foyers des paraboles de paramètre constant inscrites dans un angle droit.
20. Démontrer que la longueur d'une corde qui passe par un foyer est proportionnelle au carré du diamètre parallèle à cette corde.
21. Démontrer que, dans une ellipse, la spmme de deux cordes focales parallèles à deux diamètres conjugués est constante.
22. La somme des inverses de deux cordes focales rectangulaires est constante.
23. Démontrer que si on joint le centre d'une ellipse à un point quelconque M de la courbe, la longueur du demi-diamètre CM est moyenne proportionnelle entre les deux rayons vecteurs du point H.
24. Quel est le lieu des points M tels que CM soit moyenne proportionnelle entre FM et F'M? Que sont les points F et F' par rapport à la courbe ainsi trouvée? (Examens oraux.)
25. On prend un point P quelconque sur la perpendiculaire élevée en F à Taxe focal d'une conique, et de ce point on mène à la courbe deux tangentes. Démontrer : 1" que la corde de contact coupe l'axe focal au pied H de la directrice ; 2** que le point H est le milieu du segment TT' intercepté sur la directrice par les deux tangentes.
26. Dans une conique quelconque on trace un rayon vecteur FM, sur l'ordonnée HH du point M on porte à partir de l'axe focal une longueur HP = FM; lieu du point P. Montrer que c'est une droite tangente à la conique ; en quel point rencontre-t-elle l'axe focal ?
27. On mène un rayon vecteur FM, et à partir de M on porte sur l'ordonnée de ce point, de part et d'autre de M, des longueurs MQ = MQ' = FM; lieu des points Q et Q' ? — Qu'est-ce que la droite du lieu précédent par rapport à la courbe actuelle?
28. Lieu des foyers des paraboles qui ont un sommet donné S et sont tangentes à une droite donnée, OY par exemple.
29. Lieu des centres des cercles inscrits dans le triangle MFF, quand le point M parcourt une ellipse ou une hyperbole donnée.
30. Les deux extrémités A et B d'une droite de longueur constante glissent respectivement sur deux axes rectangulaires X^, Y'Y ; le segment AB est la base d'un triangle ABC de forme invariable et dont la hauteur est A, les segments déterminés par le pied de la hauteur sur la base étant a et b; trouver le lieu du point C. — Discussion. *
31. On donne deux points A' et A dont la distance est 2a, on élève la perpendiculaire au milieu de A'A et l'on y prend une longueur OB = ^ ; puis on trace les
TF^
sécantes AP, AT' telles que OP . OF = t* ; trouver le Fig. 353.
lieu du point M où se coupent ces deux sécantes. —
Construire' la tangente en M à cette courbe (fîg. 353). (Examens oraux.)
32. Dans une parabole on trace une corde quelconque AB; en son
milieu on élève la perpendiculaire à cette corde jusqu'à la rencontre de l'axe au point K; on trace l'ordonnée lU du point U montrer que la distance HK est constante ( fig. 554) .(Examens oraux . )
35. On trace une corde AB perpendiculaire à l'axe d'une parabole, et on joint ses extrémités à un même point M mobile sur la courbe. MoH" trer que les sécantes MA, MB coupent Taxe en deux points équidistants du sommet.
