L -• AwC Ar A.T Aar

Si Ao: tend vers zéro, les accroissements Az, Au, Av, Aj^ tendent

A2 Au Av simultanément vers zéro, et les rapports — » — » — ont pour limites

respectives les dérivées z', %i\ v'\ donc leur somme a une limite (n<> fi) qui est la dérivée y' de la fonction y. Donc

4m. l»érlvé« d'un prodvlt. — TuRORÈME II. — Si plusieurs fonctions ont chacune une dérivée, leur produit a une dérivée égale à la somme algébnque de tous les produits obtenus en multipliant la dérivée de chacune des fonctions données sticcessivement par toutes les autres fonctions.

1*' cas. — Soit d'abord un produit de deux fonctions seulement,

Les fonctions u etv étant continues, leur produit y Test aussi (n^ ts). Donnons àx l'accroissement Ar; il en résulte pour u, v et y les accroissements Au, At;, At/, et Ton a

[2] y + ly = {u-h Au) (v -h \v).

Par suite, en retranchant membre à membre,

[3] Ay == u A V H- 1' Au -f- Au . \v .

LACNAT. — GOMPL. d'aI.C. 5

Prenons le rapport de \y à Ax,

*- ' ^x Ix ^j: Ix

Quand Ax tend vers zéro, les rapports — » ^ tendent respectivement vers les dérivées u' et i/ des fonctions u et r, puisque par hypothèse ces dérivées existent et sont finies et déterminées ; le facteur Ali tendant vers xéro, le produit Au. — a pour limite zéro : les

trois termes du second membre ont donc respectivement pour limites v,v' vm' et zéro,

et le premier membre a une limite égale à la somme des limites précédentes; donc

y' = uv' -\- vu\

Le théorème est ainsi démontré pour un produit de deux fonctions.

2« cas. — Soit maintenant un produit de plusieurs fonctions; nous allons démontrer que si le théorème est vrai pour un pix)duit de n fonctions, il subsiste encore pour le produit de n + 1 fonctions.

Soit P le produit des fonctions u^u^u^..m^,

te théorème étant admis pour ce produit, la dérivée sera

P' = y\ X MjW3...î/„ H- m', X «i«3 ...W» -h ... -h m'» X î/jM,...î/.t.

Multiplions P par une nouvelle fonction Uf^^^; soit y ce nouveau produit

que Ton peut considérer comme le produit des deux facteurs P et w,^„

Et d'après le pœmier cas on a

y' = PX.i-4-«\.iP,

OU, en remplaçant P' et P par leurs valeurs, ou enfin

Donc la dérivée y' est bien aussi conforme à la loi énoncée.