Corollaire I. — Dérivée Ittirarichml^ve d'un produit
On appelle dérivée logarithmique d*une fonction y, le quotient de la
v' dérivée par la fonction elle-même, c'est-à-dire — •
Si on divise la dérivée précédente y' par le pix)duit u{Ui.,m^u^^^^ on a régalité
Ce qui donne Ténoncé suivant :
La dérivée logarithmique du produit de plusieurs fonctions est égale à la somme des dérivées logarithmiques de chacune d'elles^
48. Corollaire II. — Si Tun des facteurs est constant, sa dérivée étant nulle (n"» 4#), il suffit de multiplier cette constante par la dérivée de Tautre facteur. Ainsi »
y = au donne y' = au'.
4m. ExEUPLB I. — Soit le produit
En appliquant la régie énoncée, on a
y' = (2;r-hl)(2a: — l)-+-2^(2x-^l)-+-2.r(2x-M)
ou
56 COMPLÉMl&NTS D'ALGÈBRE.
OU, en prenant la dérivée logarithmique,
so. Exemple IL — Soily = (A' — a){x — h){x — c).,,{x — /). En prenant la dérivée logarithmique, on a, quel que soit le nombre fmi des facteurs binômes,
îi' i 1 1 \
Si, Bérivée d*«ii monOme entier et rationnel |pnr rmppmrt
A .r. — Théorème UI. — La dérivée d'un monôme entier et rationnel s'obtient en multipliant ce monôme par Vexposant de x, puis diminuant cet exposant d'une unité.
Soit en effet
Texposant m est par hypothèse entier et positif, x" est le produit de m facteurs égaux a x; donc, d*après la règle sur la dérivée d*un produit, la dérivée du facteur a étant nulle et celle de x égale à i, le résultat est la somme de m produits égaux à oo:*"', donc
st. Dérivée d'an polynôme entier en x. — Soit le polynôme
Ce polynôme est la somme algébrique des différents monômes qui le composent, donc sa dérivée s*obtient en prenant la somme algébrique des dérivées de tous les termes :
y' = mA<^-»H-(m — i)Aia:»*-«-4-(m — 2)A^~-«+...-hA„,.
La dérivée d'un polynôme entier du degré m est donc un autre polynôme entier du degré m — i, qu'on saura écrire immédiatement.
Exemple. — Soit
î/ = 3.r* — 5or* -+- 5x" — 40- -h 1 , la dérivée
99. Bérlvée d'un «irotleat. — ThéORÈMB IV. — Si deux fonctiom ont chacune une dérivée j leur quotient a aussi une dérivée^ pourvu que le diviseur ne s'annule pas dans l*intet*vcdle oà l'on fait varier x. Et cette dérivée s'obtient d'après la règle suivante :
On multiplie la dérivée du dividende par le diviseur^ on retranche de ce produit celui du dividende par la dérivée du diviseur^ et on divise cette différence par le carré du diviseur.
En effet, soit
Les fonctions u ei v étant continues quand x varie dans un certain intervalle, leur quotient y est aussi une fonction continue, pourvu qu'aucune des valeurs de x n'annule le diviseur v. Supposons cette condition remplie et donnons à a: un accroissement ^x; les fonctions u, V, y prennent les accroissements Au, Av, \y^ et Ton a
roi , . M-hAtt
Donc, en retranchant l'égalité [1] de l'égalité [2],
r-, . K-hA« u v\u — u\v
^ ^ ^ v-i-lv V (î;-f-At;)i;
Divisons \y par âkx, en divisant le numérateur par Aj: :
Au Av
fil ^y^^x__^x^
'• ' àx {v-^lv)v
Quand on fait tendre Ax vers zéro, Au, Av, \y tendent vers zéro,
et les rapports — • — ont pour limites les dérivées u' et v' ; donc
le numérateur a pour limite vu' — uv', le facteur v-i-lv a 'pour limite », le dénominateur tend donc vers v' qui^ par hypothèse, n'est pas nul; donc le quotient a une limite, et par suite on a
Ce qui est conforme à la règle énoncée.
M. Cmm où le dividende e«t eonstant. — Si le dividende est constant, sa dérivée étant nulle, la formule se simplifie :
a pour dérivée
- av
Sft. Dérivée d*ime Araetlon rationnelle. — Une fraction rationnelle a pour termes des polynômes entiers et rationnels par rapport à x; sa dérivée s*obtient donc par la règle qui donne la dérivée d un quotient, en supposant toujours que le dénominateur ne s*annule pas.
Soit en général
on en déduit
avec la condition ç (x) ^^ 0.
«•• Fraetlon niilonneile dn i^ de^ré
ax-hb
Soit y '— -7 — — T>
sa dérivée est
et supposons jf =?é: ;
,__ a{a'x-\-b*)—a'(cLC'\-b) __ aV — ba!
Exemples.
a pour dérivée
!• La fraction
(Ix—Xy
en supposant x zj^ ^«
2« La fraction y =
a pour dérivée }f :
en supposant .r:^^
S^" La fraction
X étant i^éO
a pour dérivée
de la forme
tloBMlle ém %^ degré.
— C'est une fraction
la dérivée sera
(2ax-h*)(.
fl'x* -4- b'x -\-c!)— (2a'x -h
V) (ax*-4-i^-4-c)
(o'x>4-6'x-hc')*
et en réduisant le numérateur
, (aV — ba!)x^^+•^ac' — ca!)x-^(hc' — cV) ^ "^ (a'x«-+-6'x-|-c')«
On suppose que x n*est égal à aucune des racines du dénominateur.
Exemples. — i« Soit y = —^-——— la dérivée est
, (&r — T)) (r^r» — X4-2) ~ (6x— i) (.ix« — 5x — 1) ^ "~ (5x« — x-h2)«
Comme le dénominateur ox' — x-h2 ne s*annule pour aucune valeur de x, la fraction est continue et a une dérivée pour toute valeur finie de x.
on a
Le dénominateur s'annulant pour x' = ^ et x" = 3, la fraction est
continue et a une dérivée pour toute valeur de x autre que s et 3.
' S8. Dérivée de la foneiion v^. — Cette fonction est continue pour toute valeur pontive de x. Donnons en effet à x deux valeurs positives x eix-\-h.
On a y = ^x et y + ^* = v/^-hA
donc k = ^X'hh — \/x
Multiplions et divisons par yjx+h -h s/x
, {\Jx-^h — y/x){\Jx-\'h'\-\fx) h
s/x-^h-^-yJx \JirÇh + \lx
Quand. A tend vers zéro, le dénominateur a pour limite 2\/î, le numérateur tend vers zéro, donc k tend vers zéro et Ton a
V = lim T = nm —
^ yjx-^h + \jx 2y/x
s». 9éwiirée de Im foneUoB s/xl — Cette fonction est continue pour toute valeur de x fmie et non nulle.
On a de la même manière
k = y/x-hh — \/x
Or, si on pose s/x-i-h = a \/x = h
a^ — b" on sait que <^-^ = a^^ab^b-
donc k = ,, ' = — ,. . ^ — r^-
\J{x + hf + \J{x + h)x-^\/I^
donc
g II. — FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES
•O. dérivée de la fonction «In X. — RÈGLE. — La dérivée du sinu9 d'un arc est égale au cosinus de cet arc.
Nous savons que cette fonction est continue pour toute valeur de x (n^ ss) et que, en donnant à a; un accroissement A» il en résulte pour le sinus un accroissement
On a donc
* = sin (x -f- A) — sin j? = 2 sin 3 <50s f x -h 5 j (x-+-^)sin^cos(x^^^'j
2 sin s cos I
que Ton peut écrire ainsi
j. = ^Xcos
Or si h tend vers 0, ^ et sin ^ tendent vers 0, et leur rapport a pour limite ï unité, cos («^H-rt) » PO"** ^m^ie cos^c, donc
k limT = 4xcosa:
ou
y' z= cos X.
•i. Démonstration ipéométrlqve. — Soit le cercle trigonométrique dont le rayon est pris pour unité ; ^
prenons un arc x = AM, donnons à cet arc un accroissement h = arc MM' (nous supposons les deux arcs AM et AM' terminés dans le premier quadrant), A'|-
sinar = PM sin (^ -h A) = P'M'
traçons Ml parallèle à AA', Taccroissement du sinus est donc
Jk = P'M' — PM = IM', traçons la sécante MM' qui rencontre le diamètre A'A au point S.
42 CUMPLÉUENTS D'ALGÈBRE.
On a par conséquent
k W IM' . corde MM'
A ~ arc MM' "corde MM' ^ arc MM' '
Or les triangles semblables IM'M et PMS donnent la proportion
