PM PM OP

'^ '•"'Ms=rr=î5M="'"^-^'

par suite de la similitude des triangles rectangles PMT et OPM. D'ailleura le rapport de la corde MM' à Tare MM' a pour limite l'unité,

. .• ^ OP , donc y = hm - = jrrj x 1 = cos .r .

H est facile de vérifier que la démonstration s*applique quelle que soit la position du point M sur la circonférence.

•t» IMrivée de cos X. — RÈGLE. — La dérivée du cosinus d'un arc est égale au sinus de cet arc changé de signe. On a de même que précédemment

A- z= cos (j: 4- A) — cos ;r = — 2 sin ^ sin ( x -H ;j J donc

k 2sm5sm(^x + ,^) sm^

Quand h tend vers zéro, le rapport de sin ^ a Tare ^ a pour limite

Funité, le facteur sin Ix-h ^ j tend vers sin x; donc ? a pour limite ■— sin X ; donc pour y = cos a: if := — sin x.

•S. Dérivée de umff X. — Uègle. — La dérivée de la tangente 4V un arc, quand elle existe, est égale à r inverte du carré du cosinm de cet arc.

En effet, on sait que tangâ; =

sin .r coso:'

donc, en appliquant la règle de la dérivée d*un quotient, on a cos* X -h sin' X i

cos'x

cos'a;

On pourrait d ailleurs trouver cette dérivée directement en donnant à lare deux valeure consécutives x et ,t-h A et transformant la différence tang (x-^ h) — tang x.

De toute manière on ne doit donner à x aucune valeur de la

fonne (2A: + 1 ) ^> puisque pour ces arcs la tangente n*est plus une fonction continue de x.

MCratioB fféoiBétriqvr. — Prenons sur le cercle trigonoraétrique un arc x = AM. Soit fc = arc MM' (nous supposerons les arcs AM et MM' terminés chacun dans le premier quadrant) (fig. 7) :

tang X = AT tang (or -+- A) = AT'

k = tang (x-i-h) — tang x = TT'.

La dérivée, si elle existe, est donc la limite du rapport

k TT' Al

A ""arc MM' Or

TT' TT'^ MM' arc MM' "" MM' ^ arc MM'*

On sait déjà que le rapport de la corde MM'

à Tare MM' a pour limite l'unité quand l'arc MM' tend vei^ zéro.

TT' Cherchons maintenant la limite du rapport rrrr,'

Les deux triangles OTT' et OMM' ayant Tangle commun, leurs surfaces sont entre elles comme les produits des côtés qui compren-

44 COMPliUENTS D'ALGÈBRE.

nent cet angle; donc, en menant la perpendiculaire OF à la corde MM' et la perpendiculaire MP au diamètre ÂA',

T^XOA OTxor

B1M'X0F""0MX0M'

Par suite, en divisant les deux membres par rrrr

TT OT or OF MM ""OM^OM'^OA

OF Quand Tare MM' tend vers zéro, OT' tend vers OT, et rrj a pour

limite Tunité.

Donc

TT 0T OT 0T'5I* i

MM'"~0M^0M^ "^ÔJjp^OP'—cos'x

Donc enfin

h cos' X

•5. Dérivée de cot x. — RÈGLE. — La déi'ivée de la coiangente d'un arc, quand elle existe, est égale et de signe contraire à l'invei'se du carré du sinus de cet arc.

En effet, on peut trouver celte dérivée soit en cherchant directe-

cot (x i h) cot X

ment Ja limite du rapport — ^^ r- quand h tend vers zéro,

soit en remarquant que

cosx

y = cot X = -t

•^ sin X

En prenant la dérivée de ce quotient, on a

, — sin* X — cos' X 1

sin* X sin* x

es. Dérivée de mée X. — RÈGLE. — La dérivée de la sécante d'un arc, quand elle existe, est égale au prodtiit de cette sécante par la tangente du même arc.

En effet, soit

y = séc d?

coso:

En appliquant encore la règle qui donne la dérivée d'un quotient,

on a

, sin X sin ^ ^ ^ i

1/ = — r— = X = tanga:. sec x.

'^ cos*.r cosj^^ cos.r °

On voit d*ailleurs que la fonction séc x cesse d*ètre continue pour les valeurs de x qui annulent cos jr, c'est-à-dire telles que

•». Hérivée de coséc x. — Règle. - La dérivée de la cosécante d'un arc, quand elle existe, est égale et de signe contraire au produit de cette cosécante par la cotangente du même arc.

Soit en effet

y =r COSeC x = -: •

On a de la même manière

C0S.1: COS a: i

U' =^ :— r— = : X = COt X. COSeC X.

^ sm'ic sinar sina?

La fonction coséc x cesse d*ôtre continue pour les valeurs de x qui annulent sin x, c'est-à-dire de la forme x ^k-K.

•6. iMrIvée« svcceiisivcM d'une fonetlon. - On voit d après les recherches précédentes que la dérivée d*une fonction f(x) est en général elle-même une autre fonction de x désignée par/*(x). Celle-ci peut donc à son tour avoir une dérivée qu'on appelle la dérivée seconde de la fonction f(x) et que l'on désigne par la notation

/ ou r(^).

De même, si la fonction t"{^) admet une dérivée, c'est la dérivée troisième de f(x) et nous la désignons par

y"' ou r"[xy Et ainsi de suite.

•9. Dérivée» «iiccesAlvcs d*viie fonction entière et ration* nelle de X. — Théorehe. — Si une fonction entière et rationnelle de X e^t de degré m, elle admet m dérivée* successives, et m seulement, la dernière étant une constante.

En effet, nous avons vu qu'un polynôme entier et rationnel de degré mi,

/•(:r) = Ao^•*^-A4J:^"•^-A,.l^-^..^-A„,x«-hA«^a:^-A«

a pour dérivée un autre polynôme entier et rationnel de degré m — i ,

/^(.r) = mAo:c"-«-h(m — 1) A,.r*-» .. . H-2A„,a:-hA«i

le terme constant km ne figurant plus dans y\

De même la dérivée seconde est un polynôme entier et rationnel de degré m — 2, qui ne contient plus le terme A^|,

/^'(.r) = m(m— l)Ao^-*-i-(m— i)(m— 2)Ai^-» ... 4-2A^,.

En continuant de la môme manière, on voit qu*à chaque dérivalion nouvelle le degré de chaque terme diminue d'une unité, son coefficient est multiplié par l'exposant du terme du même rang de la dérivée précédente, et le terme constant de la dérivée précédente disparait. Donc après m dérivations on arrive à

expression indépendante de x; toutes les dérivées suivantes sont par conséquent nulles.

Exemple. — Soit

f = 2aH^ — o^*-^6a:« — 2.r-|-l

on en déduit

y' = lOo:*— i2.r»-4-i2.7; —2 y" = iO.r' — 56.r«-i-i2 y'"=120x»-72a:

!•. Dérivées svceesiilve» des fonetions sin X et eos X, — Ces

fonctions ont chacune un nombre illimité de dérivées successives.

qui se reproduisent périodiquement de quatre en quatre. On a en

effet

y =z sinx z = cos.r

y' = cos.r s' = — sinjr

y" = — sin a: z" = — cos jr

y"' = — cos T a'" = 4- sin .r

y^"" = -h sin ar z'" =: -h cos x

On voit que la 4^ dérivée reproduit la fonction, donc â partir de là on i*etrouve périodiquement les mêmes résultats.

Remarquons en outre que, les arcs ^ — x et ô "^ «^ étant supplémentaires, on a

cosa: = sin(^ — xj= sin(^-f- .rj donc y' = sin (jr-j-^J

sin .r = cos ( ^ — .r j = — cos ( | -h xj z' = cos Ix 4- § )

Donc les dérivées y' et V se déduisent des fonctions correspondantes M et 3, en ajoutant -^ à l'arc x. Les dérivées successives peuvent donc s écrire sous les formes suivantes :

i^ =sina: 3 =cos;p

y' =sin^.r-f-|j z' =cos(^j:4-^)

y" =sin(x-h2^\ 3"=cos(^-h2^)

y'" = sin (x-h5''\ a'" = cos (^ -f- 3 ^)