I!I. — FONCTION DE FONCTION

91. DéflBitloB. — On appelle fonction de fonction une fonction y qui dépend d'une quantité variable t£, laquelle à son tour est fonction de la variable indépendante x.

Ainsi, soit

. fx (l\

w=:sin ( — ; — )• ^ \x-haj

Si Ton pose

X — a u = on a y = sinu;

y est donc le sinus d*un arc u qui est une fonction de x. De même si Ton a

c'est-à-dire si y dépend d'une variable i/, qui elle-même dépend d'une autre variable v, celle-ci dépendant de x, on dit encore que y est une fonction de fonction.

Par exemple

2' = '*«^'"(^) peut se décomposer ainsi :

w = logu, M = sinr, wrr^ $

y dépend de x par l'intermédiaire des fonctions u et v.

7t. Dérivée d'une ffoncilon de ffoncClon. — ThkorèHE. — Si \\ fonction continue de u, admet une dérivée par rapportki u et si u admet une dérivée par rapport à x, la dérivée de y par rapport à x est égale à la dérivée de y prise par rapport à u, imdtipliée par celle de u prise par rapport à x.

En elTot, y étant par hypothèse une fonction continue de «, et u une fonction continue de x, quand on donne -àxuTï accroissement At/, il en résulte pour u et y des accroissements Ai/, ^y qui tendent vers

zéro en même temps que Àx. On a entre ces accroissements Tidenlit<5

Sx lu ^

At/ Quand Sx tend vers zéro, le rapport -^ tend par liypothèse vers

une limite qui est la dérivée de y par rapport à u; nous la désignerons par y\.

\u Le rapport — tend vers une limite qui est la dérivée de u par

rapport à x, soit tCx» Donc le produit de ces rapports a une limite égale au produit de y'^ par u'x* Cette limite est la dérivée y'x^ Donc

Le même raisonnement s'applique s*il y a plusieurs fonctions intermédiaires, pourvu que chacune soit continue et ait une dérivée par rapport à la variable dont elle dépend.

Si Ton a

de l'identité on déduira

A?/ At/ Au Av Ax Au Av Ix

?A = î/mXw'*XvV

1rs. AppUcAtlôB». — Dérivée de 7i"*. — 1^ Si m est entier et positif,

est un produit de m facteurs égaux à u ; on a donc, d*après le théorème sur la dérivée d un produit,

y^ =zmu*~hi'.

Ce résultat se déduit aussi du théorème des fonctions de fonctions, car on prend la dérivéjB de y par rapport à m, qui est thm*"*, et on la multiplie par la dérivée de u par rapport à x, c'est-à-dire par u'.

LAirSAT. — COMPL. d'aLO. 4

S** Supposons m fractionnaire et positif, soit m =-» y=uh On a

vu (Éléments (TAlgèh^e, n<» tmé) que la notation fif signifie ^l?y expression qui est imaginaire si u est négatif, p étant impair et 7 étant pair, mais est réelle dans tout autre cas; nous supposerons les conditions de réalité remplies.

De ii = yju^ on déduit y''=zu^.

Prenons alors les dérivées des deux fonctions y* et u* par rapport à X. On a, d'après le cas précédent,

Donc Or, d'après les règles du calcul des exposants.

donc

ou

, pu^~^ ,

=lxl^''"''''\xu',^tur\',

et, puisque - vaut m, on a bien encore, comme dans le cas précé-

dent.

îy'jP = mU"*""*.M'.

S"" Supposons m négatif.

Soit m = — n • y = u'~*.

On îa\i(ÉlénienU d'Algèbre, n<» !!•) que la notation vr* signifie -^; donc, d'après la règle de la dérivée d'un quotient,

y'= r= — =--nu • *Xm'

et comme — n =: m, on a encore

La règle est donc générale : Si la fonction y = u™ a une dérivécy celle-ci s obtient j quelque soit l'exposant m, en multipliant la fonction par son exposant^ puis diminuant celui-ci d'une unité, et multipliant le résultat par la dénvée de la fonction u par rapport à x.

94. Dérivée de y^u. — Théorèhe. — La dérivée de la racine carrée d'une fonction u est égale à la dérivée u' de la fonction soumise au radical i divisée par le double de cette racine carrée.

C*est une conséquence et un cas particulier du théorème précé-

dent. Car y/u peut s'écrire u .

Donc de

on tire

ou

7«. Dérivée de V^. — Si }j=:\fu=^U,

on a de même '

96. Dérivée de 0/. — En général, si î/=:v/w = w™, on en déduit

ou

mh,7«i

»». Exemples. — I. Soit

fx'^ — W

En posant u = ^ . » on a y^ m*.

Par suite

du en réduisant

«int

n. Soit

y z= sin* X. En posant w = sin ;r, y = i/'.

donc

y' = 2 sin a: cos .r = sin 2.r, ni. Soit

-sin a:

sin.r Posons

1 4- sin .r „ —

La dérivée sera

, i cos X {i — sin .r) -f- cos x (1 -h sin x)

^~20ï^ (l~sin:r)'

ou

, ^ A /^ — sj" -^ 2 COS 3? / (1 — sin.r)cos*x

* ""ây l-+-sinj:'^(l— sina;)«"~V (*-Hsinjr){i— sin.r)*

et en remplaçant cos*a: par 1 — sin^j:-, ou (1 — sina:)(l -hsinar).

, / ( 1 — sin xy (i •+- sin x) i

y V {i H- sin X) (1 — sin ,r)* i — sin x' IV. Soit

y = \i tang* x = (tang x) '.

On en tire

et comme — -- = 1 -4- tang* .r

cos* X ^

«> .>V^tang,r

DÉRIVÉES. r>3

98. Dérivées de «In K, cos tt, Uib« U, eot f/. — D*après le théorème sur la dérivée d'une fonction de fonction, on a :

Pour y = sîn u \f = cos m X m'»

Pour y = cos u j/' = — sin m X a',

Pour w = tang u y' = — — x u\

^ ^ ^ cos'u

Pour M = cot u y' = :-r— X u',

■»•• Exemples. — I. Soit En posant