L. Launay
DÉFINITIONS
t. FoBctl«Mi d'une varUible indépendante. — On dit qu'une quantité y est fonction d'une autre quantité variable x, quand ces deux quantités sont liées Tune à l'autre de telle manière que, si x varie, la quantité y varie aussi suivant une certaine loi, et qu*à chaque valeur attribuée à x corresponde une ou un nombre limité de valeurs déterminées de y.
La variable x est appelée la variable indépendante.
Ainsi, dans un triangle dont la base est constante, la somme des
carrés des deux autres côtés est une fonction de la distance Au
sommet au milieu de la base; Taire d'un cercle est une fonction du
MA rayon. Le rapport sg^ des distances d'un point H, mobile sur une
droite à deux points fixes A et B marqués sur cette droite est fonction de la distance du point A au point H.
9. Foneti<Mi explicite et fonetlon implicite. — IVoUitlons. —
La relation qui établit une dépendance entre y eix s'exprime algébriquement par une équation entre ces deux variables.
1^ Si cette équation est résolue par rapport à y, on dit que y est une fonction explicite de «r.
Ainsi < bx-+'C sont des fonctions explicites de x.
3 cos* X
LAUXAT. — COMPL. D*ALO.
2 COUPLÉMENTS D'ALGÈBRE.
On désigne en général une fonction explicite de x par les notations f{x), ¥(x), (f(x) ; on a donc entre y et ^ Téquation résolue
la notation / indiquant les calculs à elTectuer sur une valeur attribuée à x pour en déduire la valeur correspondante de 1;) fonction y,
2*» Si r équation entre y et x n'est pas résolue par rapport à y, r'est-à-dire est de la forme :
on dit que y est une fonction implicite de .r. Si, par exemple, on donne les équations :
[1] .rsini/ — 2^tangar = 0,
[2] 2.r« — àxy -+- V — 2ax — iay -f- 9a« = 0,
on ne sait pas résoudre la première par rapporta y; on pourrait résoudre la seconde.
Mais si on laisse 1 équation sous la forme [2] sans la résoudre, on dira pour celle-ci, comme pour Téquation [1], que la variable // qu'elle définit est une fonction implicite de x.
Nous ne nous occuperons que des fonctions explicitesy c*est-à-dire que nous supposerons toujours Téquation résolue par rapport à y.
3. dasslflcation des ronctlonii cxplleltefl. — Une fonction est algébnquey quand la variable x n'y est soumise qu'aux opérations <lc Tarithmétique : addition, soustraction, multiplication, division, élévation à des puissances dont l'exposant est connu, extraction de racines d'indice connu.
La fonction est transcendante y quand ;r figure sous d'autres signes, tels que les signes trigonométriques, le logarithme, etc.
^x i ^Jx-k-X
Ainsi |,=:3ar» — r).r-hl, y:^!——, y = V=, 7'
.sont des fonctions algébrique».
Tandis que
loff.r -,
i/ = tanga:, .V = .^' — sm.r, ?/=— i^, y = ^ »
sont des fonctions transcendante».
DÉFINITIONS. r»
Une fonction algébrique est dite entière quand la variable x ne figure dans aucun dénominateur, sinon elle est fractionnaire,
La fonction est rationnelle quand x n*y figure sous aucun radical, elle est irrationnelle dans le cas contraire.
La forme générale d*une fonction entière et rationnelle de x est
y = Ao^f H-Ai^f -*H-A^r^-» . . . -^A^af^'^-h . . . A«ja;4-A^
les coefficients A©, Aj,. . . A» étant des nombres constants quelconques, et les exposants de x tous entiers et positifs. Les fonctions
ox* -^bx-hc
sont l'une fractionnaire, l'autre irrationnelle.
