CHAPITRE I
§ T. — DÉFINITIONS
4. Umlte d'une variable. — On appelle limite d*un nombre variable x^ un nombre constant et déterminé a dont la variabh* s'approche indéfiniment, c*est-à-dire tel qu*à partir d'un certain moment la différence positive a — x ou x — a, entre le nombre constant a et le nombre variable x, devient et reste ensuite toujours plus petite qu'un nombre positif donné oc, quelque petit que soit a. Par conséquent, à partir de ce moment, la valeur de la variable x reste comprise entre a — ot et a + a.
Une variable peut donc tendre vers sa limite soit en croissant constamment, soit en décroissant constamment, soit en oscillant do part et d'autre de cette limite.
Ainsi on démontre en géométrie que, si on double mdéOniment le nombre des côtés d'un polygone régulier inscrit dans un cerclo, l'aire de ce polygone croit constamment et a pour limite l'aire du cercle; de même l'aire des polygones réguliers circonscrits décroît constamment et a aussi pour limite Taire du cercle; c'est dire qu'on peut prendre le nombre des côtés d'un polygone inscrit ou circonscrit assez grand pour que la différence entre l'aire de ce polygone et celle du cercle devienne et reste ensuite inférieure en valeur absolue à toute quantité donnée.
3oit encore la somme algébrique
€*est une progression géométrique décroissante, dont la raison eat — q' Or on sait (Éléments d'algèbrey n^ 99h) que la somme des termes d*une pareille progression prolongée indéfiniment a pour limite; ♦ ce qui donne, en remplaçant q par — 5»
Suivant qu*on prend un nombre de termes pair ou impair, la :spmme eat inférieure ou supérieure à | a, mais à partir d'un certain rang la différence entre la somme et | a devient et reste moindre ^ue tout nombre donné.
B. niombro ^ui to^d vers xéro. — On dit d'après cela qu'un nombre variable x positif ou négatif a pour limite zéro si, à partir d'un certain moment, ce nombre x devient et reste ensuite constamment compris entre — a et +« quelque petit que soit a, c'est-à-dire •que sa valeur absolue devient et reste inférieure à a.
•. Llmlie d*aiie iéiictloii ^vand la variable tend vers lia nonibre donné. — Soit y une fonction de x; dire que y a pour limite un nombre b quand x tend vers a. c'est dire que, quelque petit que soit un nombre positif donné p, on peut faire en sorte que la variable x diffère assez peu de sa limite a pour que la différence entre la fonction et le nombre b devienne et reste inférieure en valeur absolue au nombre p. Par conséquent, poiu* toutes les valeurs de x comprises soit en tre a — a et a, soit entre a et a -h a, la fonction y reste comprise entre b — p et fc-i- p.
Ainsi on démontre que le rapport -: — a pour limite l'unité, quand
,r tend vers zéro ; c'est dire qu'on peut prendre un arc a positif ou négatif, mais assez petit en valeur absolue pour que à ciiacun des arcs <!ompris entre — a et ou entre et -+- a corresponde une valeur
de -; — aussi voisine que l'on voudra de l'unité.
sm X ^
V. Mnlte d*nne fonetlon qnand la variable X eroU Indéfiniment en valeur absolne dans le sens positif on dans le sens nésatir. — On dit qu'une fonction y tend vers une limite b quand la variable x croît indéfiniment, si on peut déterminer un nombre
positif  tel, que pour toutes les valeurs de x supérieures à A la valeur de la fonction diffère de b en plus ou en moin:^ d'aussi peu que Ton veut, c est -à-dire reste comprise enti'e b — p et 6-|-p, quelque petit que soit p.
De même on dit que la fonction y tend vei*s une limite b quand la variable x décroit indéfiniment, si on peut trouver un nombre positif A tel, que pour toutes les valeurs de x inférieures à — A la valeur de la fonction diffère de b d'aussi peu qu'on voudra.
8. Cas où une fonction croit on décroit Indéfiniment quand la ▼ariablc X tend Yers nn nombre donné a. — On dit que la fonction y croît au delà de toute limite quand la variable x tend vers a, si, quelque grand que soit un nombre positif B, dès que la variable x prend des valeurs assez voisines de a, c'est-à-dire reste comprise entre a — a et a H- a, la valeur de y reste constamment supérieure au nombre 6.
De même si, pour toutes les valeurs de x comprises entre a — a et a H- a, la valeur de y reste constamment inférieure à — B, quelque grand que soit 6, on dit que y décroit indéfiniment quand x tend vers a.
•. Conséquence* des définitions précédentes. -^ 1» Si deux nombres variables restent constamment égaux et si Vun d'eux tend vers une limite^ Vautre tend vers la même limite.
Car ûy=x constamment quand x s'approche indéfiniment de sa limite a, le nombre y restant égal à x s'approche aussi indéfiniment de a.
2° Si un nombre variable x croit constamment^ mais reste toujours inférieur à un nombre constant et fini A, ce nombre x a une limite qui est inférieure ou au plus égale au nombre A.
3® Si un nombre variable x décroît constamment, mais reste toujours supérieur à un nombre constant et fini A, ce nombre x a une limite qui est supérieure ou au moins égale à A.
