érivée de la ffonctlon arc nîn X, — Soit la fonction
YV^.
fA
Fip. 8.
y = arc sm .r.
La variable x étant un sinus doit rester comprise entre — 1 et 4- i . On a donc
11 y a une infinité d'arcs ayant un sinus donné, tel que 01; mais parmi tous ces arcs
il y en a un, et un seul, compris entre — ^
cl -h^- Désignons-le par z; son extrémité
mobile M se ti*ouve sur la demi-circonférence B'AB, et quand .r, représenté par 01, croît d'une manière continue depuis — i jusqu'à
-h i , Tare z croît aussi d'une manière continue depuis — 9 ^ -*" «»
et le point H parcourt la demi-circonférence B'AB.
Tous les autres arcs ayant le même sinus sont compris dans les formules
donc, l*arc z étant une fonction continue de x, tout autre arc 2^ qui a le même sinus est aussi une fonction continue de x. Il y a donc lieu de chercher sa dérivée, et l'on doit avoir y'=±z'. L'équation
y = arc sin x
i>st équivalente à
.r = siny.
y étant une fonction de x, sin y est une fonction de fonction ; donc, en prenant les dérivées des deux membres par rapport à a:, on a
i =cosyXy'
et par suite
•^ cosy
mais, puisque sin 2^ = a:, on sait que
cosy = rbv^l — sin*y = div^l -
donc
\ Choix du signe. — La dérivée étant égale à doit avoir le
même signe que ce cosinus; donc, si Tare y a son extrémité mobile H sur la demi-conférence B'AB h droite du diamètre BB', la dérivée est positive et égale à
se COMPLÉMENTS D'ALGÈBRE.
Mais si Tare y a son extrémité mobile, telle que P, située sur la demi-circonférence BA'B', à gauche du diamètre BB', son cosinus est
négatif, sa dérivée est négative et égale à -
On voit en effet, diaprés la figure, que si lare y se termine en M, à Taccroissement positif h =IV donné au sinus correspond un accroissement positif de Tare; cet accroissement k est lare MM', le rapport
T est donc positif, donc sa limite est aussi positive.
Mais si Tare y se termine en P, à gauche du diamètre BB', quand
on donne au sinus laccroissement positif A = 11', il en résulte pour
k Tare un accroissement négatif, k=z — PP'; le rapport r étant alors
négatif, sa limite y' est aussi négative.
Ainsi tous les arcs, en nombre infini, compris dans lexpression y = arc sinus x, n'ont que deux dérivées distinctes, qui ne différent que par le signe.
m. DéHTée de la ffoncUon arc cos X. — On voit de même que la fonction
[i] î/ = arccos.r
exige la condition
et qu'elle admet une infinité de déterminations: mais il existe entre et Tt un seul arc z ayant un cosinus donné, et tous les autres arcs qui ont ce même cosinus sont compris dans la double formule
L'équation [1] équivaut à [2] X = cos y.
Si on prend les dérivées des deux membres par rapport à or, on a 1= — sinyxy
donc
Or, puisque
smy
cos y = X , zïny = ± ^l — x»
0ÉB1VÉES. 57
donc
dbv/1— ^
\ Choix du signe. — Puisque y' = — -^ — t il faut donner à la
dérivée un signe contraire à celui de sin y. Par conséquent, si Tare considéré y a son extrémité mobile M au-dessus du diamètre AA', c'est-à-dire sur la demi-circonférence ABA', son sinus étant positif, sa dérivée est négative; on prend alors
Si l'arc y a son extrémité mobile sur la demi-circonférence inférieure A'B'A, son sinus étant négatif, la dérivée est positive. Alors
