Dérivée de la ffoncUon arc Umf; X, — L'équation

[i] y = arctanga:

équivaut à

[2] :r==tangy

et la variable .r peut varier de — oo à -f- oo .

Il existe un arc «, et un seul, compris entre — ^et -f-^tel quo tang z = x e\ tout autre arc ayant pour tangente x est de la forme

y = A':t -h 3 donc

Tous CCS arcs ont donc une seule et même dérivée. Or, en prenant les dérivées des deux membres de Téquation [2] ^ on a

donc

y' = cos' y or on sait que

^0^ î'-i-f-tang^y^lH-j;»

donc

M. Dérivée de are eot X. — En raisonnant de la même manière on voit qu'entre et ir il existe un arc z, et un seul» ayant une cotangentc donnée x et que tout autre arc y ayant la même cotangente est de la forme

y = Ar -4- s donc y' = z'

et par suite tous les arcs y ont la même dérivée. D'ailleurs

[1 1 y = arc col .r

équivaut à

[2] x = coty

et en prenant les dérivées des deux membres on a

d'où Von tire

y' = — sin*y or

^ 4 -h lang» y . 1 i -h col» y 4 -h .r'

col* 2^ donc

dérivée égale el de signe contraire à la {irécédenle. 9m. Application. — Soil la Tonction

y = arclang(^-^.y

C'est une fonction de fonction ; on a donc en posant « = , ^ ^

donc

Cette dérivée est le double de la dérivée de arc lang x. Si en effet on compare les deux fonctions

2jr y = arc lang j ; el s = arc lang x

on en déduit

2x )^t = tangy cl .rotangs

00 COMPLEMENTS D'ÂLGÉDRE.

donc en remplaçant x par tang^ on a entre tang t/ et tangs la relation

2tang2 , ,.

Les arcs y et 2^ ont donc des tangentes égales, donc y=:^7r-|-2« d'où y' = 2î'.