V. — DÉRIVÉE DUNE FONCTION IMPLICITE

Nous avons vu (n<» «) que si l'équation /*( j:, y) = qui établit la relation entre une fonction %j et la variable x n'est pas résolue par rapport à y, on dit que y est une fonction implicite de :r. On peut encore dans ce cas, sans avoir l'expression explicite de y en fonction de X, trouver la dérivée de cette fonction par rapport à x, comme nous allons l'expliquer.

87. Dérivées parClellcii d*iine fonction de deux variables Indépendantes. — Une quantité peut dépendre à la fois de deux variables distinctes et indépendantes l'une de l'autre. Ainsi l'aire d'un rectangle dont la base x et la liauteur y sont variables, est fonction de la base et de la hauteur; le volume d'un poids donné de gaz est fonction de la température et de la pression. On a donc à considérer souvent une fonction de deux variables indépendantes; nous l'écrirons /"(.r, y).

Si, laissant à la variable y une valeur constante, nous faisons varier seulement jr, et si la fonction f est une fonction continue de x, on pourra chercher sa dérivée />ar rapport à x; nous la désignons par

De même si, x conservant une valeur constante, nous faisons varier seulement y, il en résultera pour là fonction f une dérivée par rapport à la variable y; nous la désignons par f\(x,y).

Et nous appelons dérivées partielles de la fonction f(x, y) les deux dérivées

■ r*(^»2/) et r,(x,y).

Exemple. — Soit

f{Xf y) = 7)x* -h ^xy — ij/*-|-2a: — r»y-f- i ;

la dérivée partielle par rapport à .r, en considérant y comme constant, est

et la dérivée partielle par rapport à y, en laissant x constant, est f'^{x,y) = ^T — Sy — '5.

88. Expression de l*acerolsseiiieBi d'ane ffoaetlon * de deux -variables qiuusd on fait -varier «ne de ees variables sealenent. — Quand on donne à x^ un accroissement A, il en résulte pour la fonction f[x) un accroissement A^o-H^)— A^o)» ^t nous avons appelé dérivée de f{x) la limite du rapport

quand h tend vers zéro. Donc, quand h est seulement très petit en valeur absolue, mais non nul, ce rapport n'est pas égal à la dérivée, mais il en diffère d'une quanlifé très petite e; on peut alors écrire

et par suite

n^.ri-h)-f(x,]=^h[r{x,)-i-t]

le nombre t tendant vers zéro en même temps que h.

De même, quand une fonction f dépend de deux variables x et y, si, laissant à y une valeur constante y^, on fait passer x de la valeur x^ à la valeur or^-t-A, l'accroissement correspondant de la fonction f[x^ y) peut s'écrire

n^o •+■ h, yo) - f[^,.V,)=KVx{x,, y,) -h a].

Et si, au contraire, laissant x^ constant, on donne successivement à y les valeurs y^ et y^^+ky il en résulte pour la fonction un accroissement

f{x,y y, -h k) - f{x,, y,) = k[f\ (.ro, y,) -f- p]

les nombres a et p devant tendre vers zéro en même temps que h et*.

02 COHPLÉUENTS D'ALGÈBRE.

89. Dériwéc d*ane fonctIOD Implicite de X, — ThÉORÈHE. — Si une fonction implicite y est définie par l'équation f (x,y) = 0, la fonction f étant une fonction continue de x ainsi que de y et ayant une dérivée par rapport à chacune de ces variables, la dérivée de y est égale au quotient changé de signe de la dérivée partielle de la fonction f prise par rapport à x, divisée par la dérivée partielle prise par rapport à y de cette même fonction f .

£n effet, soit Téquation

X et y peuvent varier simultanément, mais y dépend de .r, car si on donne à x des valeurs

Xq Xi Xf ... »r„ les valeurs correspondantes de y

Vo Vi yt '" Vn

doivent être toujours telles que x^ et y^, x^ et ^j, x^ et y,,... x^ et y^. substitués à ;ret y, vérifient Téquation donnée, c'est-à-dire annulent f(^y y) ' 2^ ^^^ d<>"<^ bien une fonction de r.

Supposons cette fonction continue^ et proposons-nous d*en trouver la dérivée.

Donnons à x et j^ successivement deux systèmes de valeurs x^ et //o, »CoH-A et yo"H*> satisfaisante Téquation [ij; on a donc

Par suite

[2] f{x, -f- A, yo H- A) - /-(^o, yo) =

Retranchons et ajoutons au premier membre le nombre /*(^\„ ^0+ ^)- Tégalité subsiste et Ion a

[5] f(x,+Ky^^k)—f(x,,y,+k)^f(x,.y,^k)-f{x,.y,) = {),

Or, d*après ce que nous venons d'expliquer (n<» 8»),

est Taccroissement de la fonction f quand, y conservant la valeur

constante ^0+^» ^^ donne à x successivement les valeurs Xq et ^oH- /*, donc

fi^o ■+- kf yo -h k) — f(x^, yo -h A) = A [fx (^o» ïo "H ^0 -H « ] De même la différence

est raccroissement éprouvé par la fonction /*, lorsque, x restant égal à x^, y passe de la valeur y^ à la valeur y^+i'» donc

A-^^oi î/o -H *) — A^o» yo) = *[ A (^0» yo) + ?1

Par suite Tégalité [3] peut s'écrire

[*] A[rx(^o»yo+A)-hoti-hA'[r,(^o.yo)-HH=o

d*où nous tirons

k rx(^o»yo-f-^')-4-a

A /•M^o»yo)+P

Or ^ est l'accroissement de la fonction y correspondant à raccroissement h de la variable x\ la dérivée de y par rapport à x est

k donc la limite du rapport? quand A tend vers zéro.

Mais quand h tend vers zéro, a, ^ et k tendent aussi vers zéro, donc

y'.==iim*=:-i^^, •^ A ry(^o.yo)

les nombres Xq, ^o formant une solution de l'équation donnée f(x,y) = et ^0 étant le nombre à partir duquel on fait varier x.

•O. Exemples. — I. Soit l'équation

[2] ar« — 1/« — 6x4-y-f-4 = 0.

En prenant les dérivées partielles du premier membre, on a

Donc la dérivée de y, fonction implicite de x, est

yr.=-

2j/-hi-~2.v-l

64 COMPLÉMENTS D'ALGÈBItE.

mais on ne doit substituer à a: et ^ dans cette expression que des nombres qui forment une solution de Fëquation [ij.

Ainsi Féquation [\ ] est vérifiée par x = i y = la valeur correspondante de la dérivée de y est y'x == — j- = 2 «

L'équation [i] est aussi vérifiée par xz={ y = ir la valeur correspondante de la dérWéè de y est y' := 93— r = — 2 et ainsi de suite.