CHAPITRE IV
VARIATION DES FONCTIONS
•1 . Définitions. — Fonction croIsMuite, fonction décroissante ponr nnc ▼nleor donnée de la variable. — Soit une fonction f{x)y que nous supposons continue pour x = Xq. Donnons à Xq un accroissement A, positif ou négatif, il en résulte pour la fonction f(x) un accroissement A* =/'(xo -h A) — f{xo).
i<* On dit que la fonction f(x) est croissante pour x=:Xqj si l'accroissement de la fonction devient et reste ensuite constamment de même signe que celui de la variable quand celui-ci tend vers zéro, c'est-à-dire s'il existe un nombre positif a assez petit pour que, pour toute valeur de h comprise entre — a et -+- a, Taccroissement fix^ -f- h) — f(x^) de la fonction reste de même signe que h.
S* On dit que la fonction /"(^j est décroissante pour j:^=Xo, si l'accroissement de la fonction devient et reste ensuite constamment de signe contraire à celui de la variable quand celui-ci tend vers zéro.
De là il résulte que si la fonction f(x) est croissante pour x = x^,
le rapport '-^ ^ — '-^-^ ou r prend et conserve une valeur
positive dès que h prend une valeur absolue suffisamment petite;
et si la fonction f(x) est décroissante, le rapport ^-^-^ r — - — —
ou T prend et conserve une valeur négative quand h varie de — a à -h a.
•t. Fonction croissante on décroissante dans un Intervalle
. — Quand une fonction f[x) est continue dans l'intervalle de
a à fr, on dit qu'elle est croissante dans ce même inte)*valle si elle est croissante pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b.
De même la fonction est décroissante dans li'intei^valle considéré si elle est décroissante pour toutes les valeurs de x comprises entre a et b.
•9. Exemple. — Soit la fonction du 2« degré
y = x^ — (a-hb)x + 2a6.
On sait qu'elle est continue pour toute valeur de x. Nous supposerons a<ib,
I" Pour a: = a, Taccroissement do la fonction est
k = f(a-{-h) — f(a) = (a'hhy— a- — (a -^ b)h = (a — b)h -h h\
donc
h — AT (h /i\ j h^
h tendant vers zéro; dès que h est inférieur h b — a en valeur absolue, on a r < ; A* est donc de signe contraire à h. Donc la fonction est décroissante pour x = a.
2<» Pour a: =6,
k = f{b-i-h)—f(b) = (b-hhy — b^--(a'^b}h = {b^a)h'{-h\
donc
^z=zb — a-^h n
dès que h est inférieur à b — a en valeur absolue, t>0, donc la
fonction est croissante pour x^=b.
o'* Donnons à x une valeur quelconque x^
k = f(x,-^h)-f{x,) = {x,-^hy-'X,^-{a-^b)k = [2x,^{a^b)]h^h' donc
' j. = ix^^{a-\-b)'hh.
YARIATIO.N DES FOKCTIONS. 71
Dès que h prend une valeur absolue inférieure à celle de Sj-q — (an-J),
celte dernière quantilù donne son signe au rapport r*
Donc
î^i ^fl < — :: — T < D la fonction est décroissante,
si x^ >- — - — î ^ ^ '^ fonction est croissante.
Ainsi la fonction est déci'oissante dans ^inler^'alle de — oo à — ^ — et croissante dans Tintervalle de — ^ — à-f-3c«
•4. Haxlnvni d*«iM fottctlon. — On dit qu'une fonction continue f(x) passe par un maximum pour x = Xq, quand pour cette valeur de x la fonction, conservant une valeur finie, cesse de croître ])Our décroître.
Si donc on considère trois valeurs de la variable telles que
a étant positif et aussi petit qu'on voudra,
de Tq — X à Tq la fonction est croissante^
et de x^ à x^-^-a la fonction est décroissante,
•B. RUnlmiim due fottctlcm. — De même on dit qu une fonction continue f(x) passe par un minimum pour x = j*ot quand pour cette valeur de x la fonction prend une valeur finie et cesse de décroître pour croître, c'est-à-dire que
de J-o — X à j-o I3 fonction est décroissante,
et de X(f à x^-hi la fonction est croissante.
Ainsi on a vu prècédeninient (n° 99) que la fonction X* — (a -h b)x -f- '2ab est décroissante pour toute valeur de x inférieure à — 5 — > et croissante dès que x surpasse — ^ — » donc quand x=^ — ^ — » la fonction passe par un minimum, dont la valeur est r — ^-f-2afc.
•o. Théorème I. — Si pour toute valeur de x compnse dans V intervalle de ^ àh^ la fonction f (x) et «.i dérivée sont continues^ et si la dérivée f ' (x) est constamment positive, la fonction f (x) est croissante dans cet intervalle,
f(x -h A) fix)
En effet, le rapport -^ ^ — a pour limite f'{x) quand h
tend vers zéro; donc quand h est très petit en valeur absolue, mais non nul, on a
c étant un nombre, positif ou négatif, mais qui tend vers zéro en même temps que h.
Soit Xq un nombre quelconque compris enti'e a et h, d'après Thypothèse /^(^o)>0. Or on peut prendre h assez petit en valeur absolue pour que la valeur absolue de e devienne et reste inférieure à celle du nombre f[x^,, donc c'est f[x^ qui donne son signe au second membre ; on a alors
donc pour :r= j-^ la fonction f{x) est croissante (n<» •!).
91. Théorème II. — iSi, pour toute valeur de x comprise dans V intervalle de a à h, la fonction f (x) et sa dérivée sont continues, et si la dérivée f (x) est constamment négative, la fonction f(x) est décroissante dans cet intervalle.
Même raisonnement; fixo) est <0; or on peut prendre h assez petit en valeur absolue pour que la valeur absolue de e devienne et reste ensuite inférieure à celle du nombre fM^ quand h tend vers zéro ; donc c'est f (x^) qui donne son signe au second membre ; on a donc
donc pour x= j-^ la fonction f(x) est décroissante,
•8. Théorème III. — Si, pour toute valeur de x comprise dans Vintervalle de a à b, /a fonction f(x) est continue et constamment croissante, la dérivée f (x) est positive ou nulle dans cet inteiDalle, mais elle ne peut devenir négative.
En effet, si la dérivée devenait négative, la fonction serait décrois-
VARIATION DES FONCTIONS. 73
sanle pour la valeur de x considérée (Th. II), donc cette dérivée ne peut être que positive ou accidentellement nulle.
»•. Théorème IV. — Si^ pour toute valeur de x comprise dans riniervalle de a à h, la fonction f (x) est continue et constamment décroissantey la déinve'e f (x) ne peut être que négative ou nulles sans jamais devenir positive.
Car si la dérivée devenait positive, d*après le théorème I, la fonction serait croissante pour la valeur de x considérée ; cetie dérivée ne peut donc être que négative ou accidentellement nulle.
lao. Théorève V. — S/, pour toute valeur de x comprise dans l'intervalle de a à b, la dérivée r(x) d^une fonction reste constamment nidlcy la fonction f (x) reste constante dans tout cet intervalle,
C*est dire que si Ton prend deux valeurs quelconques de x, x^ et jTi, comprises entre a et fc, on a f[x^z=zf[x^.
En effet, soit x^^K^x^^ et partageons en n parties égales à h Tinterval le jTj — x^y par conséquent
x^ — x^=-nh.
Donnons à x les valeurs successives
^0» ^oH-^» Xo-h2A,... Xo-H-(n — i)A, x^^-^nh,
on a les égalités suivantes :
f(a:,^2h)-f(x,-^h) /•(x, + 5A)-/(.ro4-2A)
f(x,^nh)^f[x,-^{n-i)h] = h[r(x,-h{n^i)h)-hB,] = he,,
car, la dérivée restant constamment nulle dans Tintervalle de a à fr, les nombres /^(a:o),/*'(Xo-h A),. . . /''[xo-+-(n — i)h] sont tous nuls. Additionnons ces égalités membre ù membre, et remarquons que x^'hnh = x^y il reste en réduisant
les nombres Ej, e,, fig, . . . e^, positifs ou négatifs, tendent tous vers zéro en même temps que h.
Soit e la plus grande des valeurs absolues de ces nombres, la
= Ae,.
= h[f'{x,-^h)-hu]
= ht,.
= AfrK-h2A)-+-e,]
= hts.
valour absolue de la somme ci + ^t • • • + ^n ^^^ inférieure ou au plus ô<;;ale à m, donc la valeur absolue de
f(^i) — fM «"st < nhg,
donc, comme nA = r, — x^,
/■(.r,) — (/*jCo) est en valeur absolue <$ (x^ — Xq)€,
on a donc la double inégalité
— (-^l — ^o)€ < fM — A-^o) < (^1 — ^o)6-
Or, quand h tend vers zéro, e tendant vers zéro et x^ — Xq étant constant, les deux produits extrêmes tendent vers zéro, donc le nombre flx^) — (fM* compris entre ces deux produits, est nul, donc
La réciproque est évidente : si une fonction f(x) consene une valeur constante quand x varie de a à fr, la dérivée f'{x) reste constamment nulle dans cet intervalle, puisque à un accroissement h de \i\ variable correspond un accroissement nul de la fonction.
1#1. Théorème VI. — Si pour toute valeur de x comprise entre a et b le% dérivées de deux fonctions f(x) et ç(x) sont constamment égales, ces deux fonctions ne diffèrent que par une constante.
En effet, soit
r variant de a n fr, on a constamment
donc, d'après le théorème V, la fonction ^(x) reste, dans tout cet intervalle, égale à un nombre constant G; donc
i#t. Corollaire 1. — Si, pour toute valeur de x comprise entre a et 6, la fonction f(x) est constamment continue et croissante, sa dérivée f(x) ne peut s'annuler que pour certaines valeurs particulières de .r, car si elle restait nulle pour toutes les valeurs de x comprises
VARIATION DES FONCTIONS
dans une partie quelconque de rinlervalle de akb, la fonction f(x) resterait constante dans, cette même paille de Tintervalle considère.
De même si la fonction /(x) est constamment continue et décroissante, sa dérivée f(x) ne peut s'annuler que pour certaines valeurs particulières de x,
Cest pourquoi nous avons dit dans Tun et Tautre cas (Th. III et Th. IV) qu'elle devient nulle accidentellement.
109. Corollaire II. — Si, quand x croît de a à 6, la fonction f{x) restant continue, sa dérivée f(x) s*annule par une valeur pailiculière de j:, x=Xij mais reste positive pour toutes les autres valeurs de la variable, la fonction ne cesse pas d'être croissante dans tout l'intervalle.
Car, faisons croître x de a à x^ — a, puis de t, -f-a à fr, dans chacun de ces intervalles f(x) restant positive, f(x) est croissante, et cela quelque petit que soit le nombre positif a.
De môme si, /'(x) étant négative dans l'intervalle de a à 6, s'annule accidentellement pour;r = j:j, la fonction f{x) ne cesse pas d'être décroissante dans tout l'intervalle.
104. SlgnlfleatloB géométrique. — Disposition de la eoarbe quand la dérivée devient nulle sans elianger de signe. — Dans le cas où la dérivée devient nulle pour x = Xi sans cesser, d'être positive pour les valeurs de x immédiatement inférieures et immédiatement supérieures à ;r,, la courbe qui représente la fonction a la
To
Kig. 9.
tNL ?
Yâ p H Fîg. la
disposition de la figure 9. Pour j:=: OH = a:|, la tangente T'T fait un angle nul avec la direction x'x, elle lui est donc parallèle; de plus, l'ordonnée MP ne cessant pas de croître avec x à droite comme à gauche de IH, la courbe traverse sa tangente en I. Ce point I est ce qu'on appelle un point d'inflexion.
Si au contraire la dérivée s'annule pour x = x^ sans cesser d'être négative, la courbe présente la disposition de la figure 10.
f OS. Théorème VII. — Condition nécessaire et soiaMMite ponr qn'one fonction imsoe par un maximum. — Quand une fonctisn f'(x) est continue ainsi que sa dérivée dans un certain intervalle, pour que cette fonction admette un maximum pour une valeur de x, X = Xq, comprise dans cet intei-valle, il faut et il suffit que la dérivée f (x) change de signe, en passant du positif au négatif, et s'annule pourx = x^.
En effet, 1" Dire que la fonction passe par un maximum quand x^=Xç^, c est dire (n® 94) que, a étant un nombre positif très petit, quand x croit de ^o — *â ^o» ^^i fonction f(x) est croissante, la dérivée f'{x) est donc alors positive, et quand x croît de x^^ à .r^-l- a, la fonction est décroissante, donc la dérivée f'(x) devient négative. D*ailleurs la dérivée étant par hypothèse continue dans l'intervalle considéré ne peut changer de signe qu'en passant par zéro. Doncpour x=z ^0 la dérivée f'(x) s'annule et passe du positif au négatif.
2^ Réciproquement, si la dérivée s'annule pour x = Xq et passe du positif au négatif, c'est que la fonction, d'abord croissante quand x varie de .r^ — a à Xq, devient décroissante pour les valeurs de x comprises entre x^ et x^^-i-d, a étant un nombre positif aussi petit que l'on veut. Donc pour x = Xf^ la fonction, cessant de croître pour décroître, passe par un maximum.
i06. Condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction passe par un minimum. — Thforème VIII. — Quand une fonction f(x) est continue ainsi que sa dérivée dans un certain intervalle, pour que cette fonction admette un minimum pour une valeur de\,\ = x^, comprise dans cet intervalle, il faut et il suffit que la dérivée f'{x) change de signe en passant du négatif au positif, et s annule pour
X = Xo.
Le raisonnement est complètement analogue au précédent.
i" Si pour a: = Xo la fonction passe par un minimum, c'est que, de Xq — a à Xf^, la fonction est décroissante : donc la dérivée est d'abord négative; puis de x^ à Xo -+- a la fonction est croissante : donc la dérivée devient positive. D'ailleurs elle ne peut changer de signe qu'en s'annulant, puisque par hypothèse elle est continue dans cet intervalle.
2® Si de aTo — a à Xq la dérivée est négative, c'est que la fonction décroît; si de Xo à a-^ -h a la dérivée est positive, c'est que la fonction croît; donc pour x = Xq elle passe par un minimum,
*•». Remarque. — D'après ces deux théorèmes, pour qu'une fonction f(x) passe soit par un maximum, soit par un minimum pour
VARIATION DES FONCTIONS. 77
X =jr<,, il ne suffît pas que la dérivée f[x) s*annu1epour cette valeur de x^ mais il est nécessaire qu'elle change de signe en passant par zéro. Si de positive elle devient négative, la fonction passe par un maximum; si au contraire la dérivée de négative devient positive, la fonction passe par un minimum. Il est quelquefois difficile de reconnaître le signe que prend f(x) pour x=^Xq — ol, ou xz=zXf^-{-aL; alors on doit recourir aux dérivées suivantes.
tus. Usa^e des dérivées successives ponr distinguer si mie fonction passe par un maxlnram on nn minininni. — TlIÉORÈME IX. — Si une fonction f (x) continuCy ainsi que ses dérivées successives^ passe par un maximum pour x = x©, la première des dérivées succèssives qui ne s'annule pas est d'ordre pair et elle prend une valeur négative pour x = x^.
En effet, quand x croît de x^ — a à Xo, puis de x^hx^-^ a, f'{x) de positive devient nulle, puis négative; donc pour a: = ^0 la dérivée première est décroissante.
Donc la dérivée seconde est négative ou nulle.
Si elle est négative, le théorème est vérifié.
Si elle est nulle pour x = x,,, elle est négative pour les valeurs de x qui précèdent et qui suivent immédiatement Xq. On a donc
r(a:,-a)<o rM=o r(^.+»)<o
donc la dérivée seconde est d'abord croissante avant d'al teindre la valeur zéro, puis décroissante.
Donc la dérivée troisième passe du positif au négatif, et comme elle est continue, elle devient nulle pour x = x^^.
Cette fonction f'"(x) reste donc constamment décroissante dans rintervalle de Xq — aà x^-hy-; donc la dérivée suivante, qui est la quatrième, doit être négative ou nulle pour x = Xfi.
Kn continuant le même raisonnement, on voit de môme que si la dérivée quatrième est nulle pour j: = Xç, la dérivée cinquième doit être nulle aussi, et la dérivée sixième doit être négative ou nulle, et ainsi de suite.
i#9. Théorème X. — Si une fonction f (x) continue, ainsi que ses dérivées successives, passe par un minimum pour x = x^, la première des dérivées successives qui ne s'annule pas est d'ordre pair et elle prend une valeur positive pour x = x^.
La: démonstration est complètement analogue à la précédente.
78 COMPLÉMENTS DALGÈBHE.
lie. Théorème XI. — Réciproquement, si, la fonction f(x) et ses deux premières dérivées étant continues dans le voisinage de x^, la dérivée première devient nulle et la dérivée seconde négative pourx = x^, la fonction f(x) passe par un maximum.
Car, puisque /"(^o) «st négative, c'est que f(x) est décroissante pour x = Xq. Or pour celle valeur de x elle est nulle, donc elle passe du positif au négatif. Donc la fonction /'(x) passe par un maximum.
lit. Théorème XII. — Si, les fonctions f(x), r(x), ("{x) étant continues dans le voisinage de Xg, la dérivée première devient nulle^ et la dérivée seconde positive pour x = x^, la fonction ({\) passe alors par un minimum.
La démonstration esl complètement analogue.
lit. CoROLUiRE. — Si, la fonction f(x) et ses dérivées successives étant toutes continues dans le voisinage de o^o» 1^ première des dérivées qui ne s'annule pas pour ^==Xo est d'ordre impair, la fonction ne passe ni par un maximum ni par un minimum pour cetU^ valeur de la variable.
Car, d'après les théorèmes IX et X, pour que la fonction f(x) admette un maximum ou un mmimMm pour x = Xq, il est nécessaire que la première des dérivées qui ne s'annule pas pour cette valeur de x soit d'ordre pair.
Supposons, par exemple, qu'on ait
r{^-o)=o rw=o rK)>o
On en conclut que pour x = Xq f(x) est croissante, donc passe du négatif au positif en s'annulanl, donc la dérivée première f(x) est d'abord décroissante, puis nulle, puis croissante, par conséquent elle est positive, puis nulle, puis redevient positive; donc la fonction ne cesse pas d'être croissante pour x =^ Xq — a, comme pour J* = ^o -Hall S. Marche * suivre pour étndier les Tarlatlons d'une foaetlon. — Soit une fonction y = f{x). On cherche d'abord dans quels intervalles cette fonction est réelle, et dans quels intervalles elle est continue. Il suffit d'étudier la fonction dans ces derniers intervalles : ils sont d'ordinaire séparés par les valeurs de x qui rendent la fonction infinie.
On forme la dérivée fix), on sépare aussi les intervalles où elle est réelle et continue, puis on cherche les racines de l'équation
VARIATION DES FONCTIONS. 70
f'{x) = et l'on s'assure soit directement, soit à l'aide de la dérivée seconde, si f'ix) passe du positif au négatif, ou du négatif au positif, ou enfin si elle conserve son signe en passant par zéro. On détermine ainsi les intervalles on la fonction est croissante, décroissante, et les valeurs particulières de x pour lesquelles la fonction admet un maximum ou un minimum; on substitue ces nombres dans f(x), afm do calculer la valeur numérique du maximum ou du minimum^
On inscrit ces résultats dans un tableau : dans la première colonno on écrit les valeure remarquables de Xy rangées par ordre de grandeur algébrique croissante ; dans la seconde le signe et au besoin la valeur de la dérivée, et dans la troisième le sens croissant ou décivis- ^anl suivant lequel varie la fonction, et les valeurs remarquables par lesquelles elle passe.
Si la variable x est susceptible de croître de — oo à + « , il faut en outre chercher les limites vers lesquelles tend la fonction quand x croît indéfiniment dans Tun ou l'autre sens.
A laide de ce tableau, résumant l'étude algébrique de la fonction, on trace la courbe qui représente géométriquement ses variations.
lié. Êtndc de la fonctton entière dn premier de^^ré. — Cette fonction est de la forme
[i] y^ax-hb.
Nous avons démontré (n® 91) qu'elle est continue pour touto valeur finie de x, on peut donc faire croître x do -- oo à -h oc . Prenons la dérivée
Cette dérivée est constante, de là les différents cas suivants :
i** Si a>0 la fonction y est constamment croissante. 2« Si a<;0 la fonction y est constamment décroissante, o" Si a = la fonction y est constante,
elle se réduit en effet d y = b.
Mettons a en facteur, et posons = r' ; la fonction prend la
forme
[2] î/ = a^.r + -j ou y = a{x — y)
CO)IPLÉMENTS DALGËBRE.
Sous cette forme on suit facilement le signe dey; pour j: = ♦
y devient nulle, et quand la valeur de x augmente indéfîniment, y croit aussi indéfiniment en valeur absolue.
Les variations de la fonction sont donc résumées dans les tableaux suivants :
