II — THÉORÈMES SUR LES LIMITES

iO. Théorème 1. — Limite d'nn produit dont un facteur tend vers aéro, l'autre facteur restant fini. — Si dans Wl produit bc l'un des facteurs b, constant ou variable, reste fini et si Vautre facteur c tend vers zéro, le produit tend lui^-même vers zéro.

£n effet, b restant fini, on peut trouver un nombre positif 6 tel, <(ue la valeur absolue de b reste inférieure à B; le facteur c tendant vers zéro, c'est dire qu'à partir d un certain moment c reste compris entre — y ei-i-y quelque petit que soit y; donc la valeur absolue (lu produit bc devient et reste ensuite moindre que By.

Or on peut prendre ce dernier produit By inférieur lui-même à tout nombre positif donné e, si petit que soit s; il suffit pour cela de prendre

C'est dire que le produit bc tend vers zéro.

if. Théorème H. — Limite d'une somme d*iiii nombre Uni de termes. — Si plusieurs nombres variables, en nombre fini, tendent simultanément chacun vers une limite, leur somme algébrique tend aussi vers une limite qui est égale à la somme des limites de ces différents nombres.

En effet, soient n fonctions

by c<t d, . . , l

dépendant d'une même variable x, et ayant respectivement pour limites les nombres finis

B, C, D, ... L quand x tend vers a.

Soient p. Y» o, . . . X

les différences positives ou négatives entre ces fonctions et leurs limites, quand on donne à x une valeur très voisine de a ; on a

fc = B-|-p c=C + Y d = D-h5

i==L-|-X et en ajoutant ces égalités membre à membre

ft + c-Hii...4-/=(B-hC4-D...-f-L)4-(p-hY-l-8...-hX) Soit p la valeur absolue de celle des quantités p, y> • • • ^ qui a la

8 GOMPLÉHEIITS D ALGÈBRE.

plus grande valeur absolue; la somme p + Y + S...+Xest inférieure à np eu valeur absolue, on a donc la double inégalité

— n? <P-f-Y-h8... -f-X <:inp et par suite

— np <fr-t-c-4-(i...-+-/— (B + C + D... H-L) <np

Supposons maintenant que, x tendant vers a, les fonctions b,c,,,.l tendent simultanément vers leurs limites respectives ; les dilTèrences p, Y, 8, ... X tendront vers zéro, ainsi que p qui est la plus grande d'entre elles en valeur absolue, et comme n est un nombre constant et finit le produit np aura zéro pour limite, d'après le théorème I. Donc la somme b-^c-^d ,..-^1 pourra différer aussi peu qu'on voudra de la somme B-I-C-+-D... -|-L : c'est dire qu'elle a pour limite cette dernière somme.

iS. Remarque. — Cas où le nombre des fonctions est InflnI. —

Si le nombre n des fonctions considérées n'était pas finiy on ne pourrait plus dire que le produit np tend vers zéro, et la somme des fonctions n'aurait plus nécessairement pour limite la somme de leurs limites.

Si, par exemple, on partage un nombre constant a en n parties égales et si le nombre n de ces parties augmente indéfiniment,

chaque partie - a pour limite zéro.

Si on prend n de ces parties, quelque grand que soit n, on a l'identité

la somme reste donc constante, finie, et égale à a quand chaque partie tend vers zéro.

Mais si le nombre des parties qui composent la somme est égal à n*,

-H h -h- = -Xn»=nfl

Cette somme na croit indéfiniment en même temps que n, bien que chaque partie tende vers zéro.

iS. Théorème III. — inimité d'un produit de fnetenrs va-

DES LmnES.

rlablcs. — Si plusieurs facteurs variables, en nomln^ fini, tendent simultanément chacun vei^ une limite, leur produit tend aussi vers une limite qui est égale au produit des limites de ces différents nombres,

1<* Prenons d^abord deux facteurs seulement, b et e, qui ont pour limites respectives B et C quand la variable x dont elles dépendent tend vers a.

Pour une valeur de x très voisine de a, on a

c=C-f-T donc

ftc = BC-hBY-hCp-t-pY

Or, quand x tend vers a, p et y tendent vers zéro, B et C sont des nombres finis, donc les termes By, Gp ont chacun pour limite zéro; le terme ^, dont les deux facteurs tendent vers zéro» tend aussi évidemment vers zéro; donc la somme des trois termes BY-hC^H-pY tend vers zéro, et le produit bc a pour limite BC.

2* Je dis maintenant que si le théorème est vrai pour un produit de n facteurs (n étant un nombre fini), il subsiste quand on prend un facteur de plus.

Soient n fonctions dépendant d*une même variable x

qui, pour a: = a, tendent respectivement vers les nombres finis

B, C, D, . . . F Par hypothèse

limite de b c d . .. f=B. Cl). . ,¥

ou, en désignant par p le produit bcd .../*, et par P le produit des limites,

lim/) = P.

Multiplions le produit p par un dernier facteur /, dont la limitf est L. D'après le premier cas, on a

lim (/>./) = P. L.

Donc en remplaçant p ei? par leurs valeurs

lim^.c.d .../W.=:B.C.D. ...F. L.

D*où il suit que le théorème, étant démontré pour deux facteurs, subsiste^pour trois; étant vrai pour trois, il l'est encore pour quatre et en général pour un nombre fini quelconque de facteurs.

14. Corollaire. — lilmlte d'une pnlasaaec. — Si un nombre variable b tend vers une limite B, la m« puissance de h a une limite qui est égale à la m® puissance de B.

Car, Texposant m étant entier, positif et fmi, la m<^ puissance do h est le produit de m facteurs égaux à b.

IB. Théorème IV. — lilmite d*an qnoUent. — Si les deux termes d'une fraction algébrique tendent chacun vers une limite, et si la limite du dénominateur nest pas nulle, la fraction tend vers une limite qui est égale au quotient des limites des deux termes.

Soit la fraction - dont les deux termes, fonctions d'une même

variable x, ont simultanément pour limites l'un B, l'autre C,

quand x tend vers une valeur particulière a. Supposons en outre le

Hombre C différent de zéro.

Puisque C n'est pas nul, onpeut diviser 6 par C : soit Q le quotient,

qui est un nombre fini; on a donc

B = CQ

Or pour une valeur de x très voisine de a

ft = B-|-p = CQH-p et c = C-t-Y

la différence entre le quotient- et le nombre Q est donc

Or quand la variable x tend vers a, p et y tendent vers zéro; Q étant fini, le produit Qy tend vers zéro, le dénominateur C -h y tend

vers C, la fraction 4; — ^ a donc pour limite zéro.

(j-hY

limite - = Q = c L

!•. Remarque 1. — Cas où le dénominateur tend vers séro. —

Si le dénominateur c a pour limite zéro et si la limite du numérateur n'est pas nulle, la fraction - positive ou négative augmente

indéfiniment en valeur absolue quand x tend vers a.

En elTet, G étant nul, pour une valeur de x très voisine de a h

quotient - se réduit à

On peut donner à x une valeur assez voisine de a pour que ^ et y soient aussi voisins de zéro que Ton voudra ; le signe de la fraction

est alors celui de -• Y Je dis que, quelque grand que soit un nombre positif N, on peut

faire en sorte que la valeur absolue de ~ surpasse N. Soient en effet

Bt la valeur absolue de B + p, et yi celle de y; on peut satisfaire à linégalité

Car, en multipliant les deux membres par le nombre positif ^> cette inégalité revient à

Yi<î^

Or, on peut prendre x assez voisin de a pour que Yi soit inférieur à tout nombre positif donné, donc en particulier au nombre ^'

Exemple. — Soit la fraction — : ; quand x tend vers zéro,

sm j:

fpiel que soit le signe de x, le numérateur tend vers 1, le dénomina-

H COMPLÉMENTS D*ALGËBRE.

teur tend vers zéro, mais est positif ou négatif en même temps que x, donc cette fraction peut devenir

supérieure à + N quand x est positif et très voisin de inférieure à — N quand x est négatif et très voisin de

ce que Ton exprime plus brièvement en disant que

dans le i*' cas elle tend vers -h œ et dans le 2' cas — — — oo

1 V. Remarque II. — Cas où les deux iermes «endent slmnltenémeat Ters séro. — Si les deux termes d une fraction tendent simultanément vers zéro, quand x tend vers a, la fraction prend la forme

illusoire r-y qui n'indique pas toujours une indétermination. {Éléments d'Algèbre y n° f SV.)

Il faut alors transformer la fraction et chercher par des procédés particuliers si elle tend vers une limite finie et déterminée quand x tend vers a.

18. Inimité de y^. — Théorème V. — Si un nombre variable b, fonction de x, reste constamment positif et tend vers une limite finie B quand x tend vers a, la racine m® arithmétique de h tend en même temps vers une limite qui est égale à la racine m« arithmétique de B.

En effet, on a vu [Éléments d'Algèbre, n» 99) que tout nombre positif b a une racine m° réelle et positive, qu'on appelle sa racine arithmétique. Soit r cette racine, c'est dire quer* = ft.

Le nombre & restant constamment positif, sa limite B ne peut être que positive ou nulle. Supposons-la d'abord positive; ce nombre positif B a aussi une racine m'^ arithmétique, soit R ; par suite,

Pour une valeur de x très voisine de a, on a

^ = Bh-p

ou

r» = R- H- p c'est-à-dire r" ■— R- = p

Or, on sait (voir Éléments dAlgèbrCy u^ Vf ) que

r"— R'" = {r — R)(r"-*-4-î---«R-hr«-»R»-h...-t-rR--«-hR--»)

donc

Or, quand la variable x tend vers a, la valeur absolue de p devient inférieure a tout nombre donné, le nombre constant R est positif, le nombre variable r reste constamment positif, donc le dénominateur reste supérieur à son dernier terme R*"*, donc la différence r — R peut devenir plus petite que tout nombre donnée, en valeur absolue, et par conséquent r a pour limite R.

2* Si la limite du nombre h est nulle, c'est dire que r* a pour limite zéro quand x tend vers a; or f* est le produit de m facteurs égaux à r ; pour que ce produit tende vers zéro, il faut que r luimême, c'est-à-dire \fh^ tende aussi vers zéro. Le théorème subsiste donc encore dans ce cas.