OP" ""OF"~OP
les triangles OP"M", OFM', OPM sont semblables et les points M", 0, M, M', sont toujours en ligne droite, mais cette droite CD est tracée dans Tangle X'OY et son opposé.
LAIWAT. — COKPt. d'aLC. 6
COÎIPLÉMEKTS D'ALGÈBRE.
2« -Soit fr 9^ 0. — La fonction est y — ox-h i. Si on pose .Vi = a^ on a y^iy^-Jf b.
La fonction y^ est représentée par une droite C,OD, menée par le point 0. Pour j: = on a y = ^, soit OB (en supposant b positif), et
pour toute valeur de x, x =^ OP,
on a
yi = PMi
l/ = yjH-fc=:PMi4-M,M (fig. i3).
M^H étant égal à b, la figure OBM,M est donc un parallélogramme et la ligne BH est parallèle à OMp la fonction y = ox H- i est donc représentée par une droite CD parallèle à CfDi,
le point B où elle coupe y' y étant au-dessus ou au-dessous du point •
suivant que b est positif ou négatif.
iitt. Étude de la fonetlon entière dn second degré. — La
fonction entière du second degré
linue pour toute valeur finie de x (n^ tt) et a pour déjivées
y'^^ax-hb
et
liC binôme x-h^ne s'annule que pour j:~ — ô^ ^i change de
signe quand x atteint et dopasse le nombre - 3-, c'est-à-dire la
demi-somme des racines de Téquaiion obtenue en égalant le trinôme «lu 2** degré à zéro. Mais le signe de î/' dépend du signe du facteur a; il faut donc distinguer deux cas :
I" Ca«, a>0. Tant que .r< — ^, puisque le facteur a est positif, fa dérivée 1/ est négative et la fonction décroît, et quand ./•> — ^ la dérivée est positive, donc la fonction devient croissante.
Elle passe donc par un minimum quand x —- — ^- et la valeur
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VARIATION DES FONCTIONS
de ce minimum est — r- On voit en effet que y" est poêitive.
D'ailleurs, en mettant x' en facteur on peut écrire la fonction sous la forme
donc quand la valeur absolue de x devient très grande, le facteur
écrit entre parenthèses prend et conserve le signe de a, puisque
- et — tendent vers zéro, et la fonction prend le signe de ax^ ;
elle devient donc positive et croit indéfiniment.
2« Cas, a •< 0. Le facteur a étant négatif, quand jt croît ôv
ia
30 à — ^» la dérivée i/ est positive, y croît; et quand x croît de
— 9~ ^ -h*» la dérivée // est négative, y décroît. Donc pour j- = — j^ la fonction passe par un maximum dont la valeur a encore
pour expression — -r La dérivée seconde est en effet négative.
Et quand x croit indéfiniment en valeur absolue, la forme [2] montre que la fonction prend le signe de ax', c'est-à-dire devient négative, et que sa valeur absolue croit indéfiniment.
La fonction du second degré admet donc un minimum quand a eU positif y et elle admet un maximum quand a est négatif.
Ses variations sont résumées dans les deux tableaux suivants :
